📖 FICHE DE COURS ÉLÈVE
📖 FICHE DE COURS ÉLÈVE⚓︎
Systèmes de Numération · Binaire · Décimal · Hexadécimal · Conversions · Adresses MAC & IP⚓︎
Version 1.0 — BTS SIO SISR — Année 1 — Semaine 1
Partie 1 — Pourquoi le Binaire ?⚓︎
1.1 Le Transistor : La Brique de Base⚓︎
Un ordinateur moderne contient des milliards de transistors. Un transistor est un interrupteur électronique microscopique qui n'a que deux états possibles :
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│ LE TRANSISTOR │
│ │
│ ÉTAT 0 : interrupteur OUVERT │
│ ───────○ ○─────── → pas de courant → valeur 0 │
│ │
│ ÉTAT 1 : interrupteur FERMÉ │
│ ───────────────────── → courant passe → valeur 1 │
│ │
│ Un transistor ne peut PAS être "à moitié ouvert". │
│ → Il ne connaît que 0 et 1. │
│ → L'ordinateur ne peut compter qu'en binaire. │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
💡 À retenir : Le binaire n'est pas un choix arbitraire — c'est une contrainte physique. Un transistor ne peut représenter que deux états. On appelle cet état un bit (contraction de binary digit).
1.2 Vocabulaire Fondamental⚓︎
| Terme | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Bit | Plus petite unité d'information — vaut 0 ou 1 | 1 |
| Nibble | Groupe de 4 bits | 1010 |
| Octet (byte) | Groupe de 8 bits | 11001010 |
| MSB | Most Significant Bit — bit de poids fort (à gauche) | Dans 11001010, le MSB est 1 |
| LSB | Least Significant Bit — bit de poids faible (à droite) | Dans 11001010, le LSB est 0 |
MSB LSB
↓ ↓
1 1 0 0 1 0 1 0
│ │
poids fort poids faible
(valeur élevée) (valeur faible)
Convention de lecture : TOUJOURS de GAUCHE (MSB) à DROITE (LSB)
Partie 2 — La Logique des Bases de Numération⚓︎
2.1 La Base Décimale (Base 10) — Ce que vous connaissez déjà⚓︎
En base 10, nous utilisons 10 symboles : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Chaque position dans un nombre représente une puissance de 10 :
Nombre : 3 4 7
│ │ │
Position : centaines dizaines unités
Puissance : 10² 10¹ 10⁰
Valeur : 100 10 1
→ 347 = 3×100 + 4×10 + 7×1 = 300 + 40 + 7 = 347 ✓
2.2 La Base Binaire (Base 2) — La langue de l'ordinateur⚓︎
En base 2, nous utilisons 2 symboles : 0 et 1
Chaque position représente une puissance de 2 :
┌────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ TABLE DES PUISSANCES DE 2 — À MÉMORISER │
├────────┬────────┬────────┬────────┬────────┬────────┬────────┬────────┤
│ 2⁷ │ 2⁶ │ 2⁵ │ 2⁴ │ 2³ │ 2² │ 2¹ │ 2⁰ │
│ 128 │ 64 │ 32 │ 16 │ 8 │ 4 │ 2 │ 1 │
└────────┴────────┴────────┴────────┴────────┴────────┴────────┴────────┘
Exemple — Lire le nombre binaire 10110011 :
Bits : 1 0 1 1 0 0 1 1
Poids : 128 64 32 16 8 4 2 1
Calcul: 1×128 0×64 1×32 1×16 0×8 0×4 1×2 1×1
= 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
= 179 (en décimal)
Partie 3 — Conversions Pas à Pas⚓︎
3.1 Décimal → Binaire : Méthode des Divisions Successives⚓︎
Principe : On divise le nombre décimal par 2 en notant les restes. On lit les restes de bas en haut.
Exemple — Convertir 42 en binaire :
42 ÷ 2 = 21 reste 0 ↑ (lire de bas en haut)
21 ÷ 2 = 10 reste 1 ↑
10 ÷ 2 = 5 reste 0 ↑
5 ÷ 2 = 2 reste 1 ↑
2 ÷ 2 = 1 reste 0 ↑
1 ÷ 2 = 0 reste 1 ↑ ← premier reste lu (MSB)
Résultat (lecture de bas en haut) : 101010
→ 42 en décimal = 101010 en binaire
Vérification : 1×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 32 + 8 + 2 = 42 ✓
💡 Astuce : On peut aussi utiliser la méthode des puissances (soustraction successive) : - Quel est le plus grand 2ⁿ ≤ 42 ? → 32 (2⁵). On pose un 1 en position 5. - Reste : 42 - 32 = 10. Plus grand 2ⁿ ≤ 10 ? → 8 (2³). On pose un 1 en position 3. - Reste : 10 - 8 = 2. Plus grand 2ⁿ ≤ 2 ? → 2 (2¹). On pose un 1 en position 1. - Reste : 2 - 2 = 0. Terminé. - Résultat : position 5=1, 4=0, 3=1, 2=0, 1=1, 0=0 → 101010 ✓
3.2 Binaire → Décimal : Méthode des Puissances de 2⚓︎
Principe : Multiplier chaque bit par son poids (puissance de 2) et additionner.
Exemple — Convertir 11010110 en décimal :
Bits : 1 1 0 1 0 1 1 0
Poids : 128 64 32 16 8 4 2 1
Calcul : 1×128 + 1×64 + 0×32 + 1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1
= 128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0
= 214
→ 11010110 en binaire = 214 en décimal
3.3 La Base Hexadécimale (Base 16) — Le Raccourci du Binaire⚓︎
En base 16, on utilise 16 symboles : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ TABLE HEXADÉCIMALE COMPLÈTE │
├──────────┬────────────┬──────────┬──────────┬────────────┬──────────┤
│ Décimal │ Binaire │ Hexa │ Décimal │ Binaire │ Hexa │
├──────────┼────────────┼──────────┼──────────┼────────────┼──────────┤
│ 0 │ 0000 │ 0 │ 8 │ 1000 │ 8 │
│ 1 │ 0001 │ 1 │ 9 │ 1001 │ 9 │
│ 2 │ 0010 │ 2 │ 10 │ 1010 │ A │
│ 3 │ 0011 │ 3 │ 11 │ 1011 │ B │
│ 4 │ 0100 │ 4 │ 12 │ 1100 │ C │
│ 5 │ 0101 │ 5 │ 13 │ 1101 │ D │
│ 6 │ 0110 │ 6 │ 14 │ 1110 │ E │
│ 7 │ 0111 │ 7 │ 15 │ 1111 │ F │
└──────────┴────────────┴──────────┴──────────┴────────────┴──────────┘
💡 Pourquoi l'hexadécimal ? 4 bits = exactement 1 chiffre hexadécimal. 8 bits (1 octet) = exactement 2 chiffres hexadécimaux. Au lieu d'écrire
11001010, on écritCA. L'hexadécimal n'existe que pour rendre le binaire lisible par l'humain.
3.4 Binaire → Hexadécimal : Méthode des Groupes de 4 Bits⚓︎
Principe : Regrouper les bits par 4 en partant de la droite. Convertir chaque groupe en son équivalent hexadécimal.
Exemple — Convertir 11001010 en hexadécimal :
Binaire : 1100 1010
↓ ↓
Table : C A
↓ ↓
Résultat: 0xCA
→ 11001010 en binaire = CA en hexadécimal (noté 0xCA)
Vérification : CA → C=12, A=10 → 12×16 + 10×1 = 192 + 10 = 202
Et en binaire : 1×128 + 1×64 + 0×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 128+64+8+2 = 202 ✓
3.5 Hexadécimal → Binaire : L'Opération Inverse⚓︎
Principe : Remplacer chaque chiffre hexadécimal par son équivalent sur 4 bits.
Exemple — Convertir 0x3F en binaire :
Hexa : 3 F
↓ ↓
Binaire: 0011 1111
↓ ↓
Résultat: 00111111
→ 0x3F en hexadécimal = 00111111 en binaire
3.6 Décimal → Hexadécimal : Deux Chemins Possibles⚓︎
Chemin 1 (recommandé) : Décimal → Binaire → Hexadécimal (enchaîner les méthodes 3.1 et 3.4)
Chemin 2 (direct) : Divisions successives par 16 — même logique que pour le binaire.
Exemple — Convertir 202 en hexadécimal par divisions :
202 ÷ 16 = 12 reste 10 → 10 = A
12 ÷ 16 = 0 reste 12 → 12 = C
Lecture de bas en haut : C A
→ 202 en décimal = 0xCA en hexadécimal ✓
Partie 4 — Exercices Guidés⚓︎
Série 1 — Décimal → Binaire (avec correction immédiate)⚓︎
Utilisez la méthode des divisions successives :
| Nombre décimal | Divisions (à compléter) | Résultat binaire |
|---|---|---|
| 13 | 13÷2=6 r.1 / 6÷2=3 r.0 / 3÷2=1 r.1 / 1÷2=0 r.1 | 1101 |
| 25 | (à compléter) | (à trouver) |
| 47 | (à compléter) | (à trouver) |
| 100 | (à compléter) | (à trouver) |
| 172 | (à compléter) | (à trouver) |
| 255 | (à compléter) | (à trouver — résultat remarquable !) |
Série 2 — Binaire → Décimal⚓︎
Utilisez la table des puissances de 2 :
| Nombre binaire | Calcul (à compléter) | Résultat décimal |
|---|---|---|
1011 |
1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1 = |
11 |
10101 |
(à compléter) | (à trouver) |
11111111 |
(à compléter) | (résultat remarquable !) |
10000000 |
(à compléter) | (à trouver) |
11010011 |
(à compléter) | (à trouver) |
Série 3 — Conversions Hexadécimales⚓︎
| Départ | Vers | Résultat |
|---|---|---|
0xA |
Décimal | 10 |
0xFF |
Décimal | (à trouver — résultat remarquable !) |
0x1F |
Binaire | (à trouver) |
11110000 |
Hexadécimal | (à trouver) |
10101100 |
Hexadécimal | (à trouver) |
0xC0 |
Décimal | (à trouver — on le reverra dans les masques réseau !) |
Partie 5 — Applications Réelles en Informatique⚓︎
5.1 L'Adresse MAC en Hexadécimal⚓︎
Une adresse MAC (Media Access Control) est l'identifiant unique gravé dans chaque carte réseau au moment de sa fabrication. Elle est composée de 6 octets, soit 48 bits, représentés en hexadécimal.
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ ANATOMIE D'UNE ADRESSE MAC │
│ │
│ B4 : 2E : 99 : A0 : 1C : F7 │
│ ───────────────── ───────────────── │
│ OUI NIC │
│ (Organizationally (Network Interface │
│ Unique Identifier) Controller) │
│ │
│ 3 premiers octets = Identifiant du FABRICANT │
│ 3 derniers octets = Numéro de série de la CARTE │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Notation : Une adresse MAC peut s'écrire de plusieurs façons équivalentes :
- B4:2E:99:A0:1C:F7 (Linux, Wireshark)
- B4-2E-99-A0-1C-F7 (Windows)
- B42E.99A0.1CF7 (Cisco)
- 0xB42E99A01CF7 (notation hexadécimale brute)
Exercice : Combien y a-t-il d'adresses MAC différentes possibles ?
6 octets = 48 bits → 2⁴⁸ adresses possibles
= 281 474 976 710 656 adresses (281 billions)
→ Assez pour équiper tous les appareils jamais fabriqués
Commandes pour afficher l'adresse MAC :
# Windows
ipconfig /all
getmac
# Linux
ip link show
ip a
5.2 L'Adresse IP en Binaire⚓︎
Une adresse IPv4 est composée de 4 octets (32 bits au total), affichée en notation décimale pointée.
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ ADRESSE IP 192.168.1.42 EN BINAIRE │
│ │
│ Décimal : 192 . 168 . 1 . 42 │
│ │ │ │ │ │
│ Binaire : 11000000 10101000 00000001 00101010 │
│ │
│ Représentation 32 bits complète : │
│ 11000000 10101000 00000001 00101010 │
│ │
│ → Chaque octet ne peut valoir qu'entre 0 et 255 │
│ (car 8 bits → valeur max = 11111111 = 255) │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Pourquoi le binaire pour les IP ?
Les masques de sous-réseau ne fonctionnent qu'en binaire. Le masque 255.255.255.0 signifie en réalité :
Masque : 255 . 255 . 255 . 0
Binaire : 11111111 11111111 11111111 00000000
Les bits à 1 = partie RÉSEAU (fixe, identifie le réseau)
Les bits à 0 = partie HÔTE (variable, identifie la machine)
IP : 11000000 10101000 00000001 00101010
Masque : 11111111 11111111 11111111 00000000
────────────────────────────────────────────
Réseau : 11000000 10101000 00000001 00000000
= 192.168.1.0 (adresse réseau)
💡 À retenir : Une adresse IP
255.x.x.xest impossible sur l'octet hôte car 255 en binaire = 11111111 → tous les bits à 1 → adresse de broadcast (diffusion), pas d'une machine individuelle.
Partie 6 — Synthèse des Conversions⚓︎
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SCHÉMA DES CONVERSIONS │
│ │
│ DÉCIMAL (base 10) │
│ / \ │
│ divisions / \ puissances │
│ par 2 / \ de 2 │
│ ↙ ↘ │
│ BINAIRE (base 2) ←────→ HEXADÉCIMAL (base 16) │
│ groupes remplacement │
│ de 4 bits nibble par nibble│
└─────────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Vocabulaire Clé à Maîtriser pour l'Examen⚓︎
| Terme | Définition |
|---|---|
| Bit | Plus petite unité d'information — vaut 0 ou 1 |
| Octet (byte) | Groupe de 8 bits — représente une valeur de 0 à 255 |
| Nibble | Groupe de 4 bits — représente une valeur de 0 à 15 (0 à F en hexa) |
| Base | Nombre de symboles utilisés dans un système de numération |
| Binaire | Base 2 — symboles : 0 et 1 |
| Hexadécimal | Base 16 — symboles : 0-9 et A-F |
| MSB | Most Significant Bit — bit de poids fort (à gauche) |
| LSB | Least Significant Bit — bit de poids faible (à droite) |
| Notation 0x | Préfixe indiquant qu'un nombre est en hexadécimal (ex : 0xFF) |
| Adresse MAC | Identifiant physique unique d'une carte réseau — 48 bits en hexadécimal |
| Adresse IPv4 | Adresse réseau sur 32 bits — affichée en 4 octets décimaux |
| Masque de sous-réseau | Nombre binaire 32 bits délimitant la partie réseau et la partie hôte d'une IP |
ANNEXE A — Table des Puissances de 2⚓︎
╔══════╦═════════╗ ╔══════╦═════════╗ ╔══════╦═════════╗
║ 2ⁿ ║ Valeur ║ ║ 2ⁿ ║ Valeur ║ ║ 2ⁿ ║ Valeur ║
╠══════╬═════════╣ ╠══════╬═════════╣ ╠══════╬═════════╣
║ 2⁰ ║ 1 ║ ║ 2⁴ ║ 16 ║ ║ 2⁸ ║ 256 ║
║ 2¹ ║ 2 ║ ║ 2⁵ ║ 32 ║ ║ 2⁹ ║ 512 ║
║ 2² ║ 4 ║ ║ 2⁶ ║ 64 ║ ║ 2¹⁰ ║ 1024 ║
║ 2³ ║ 8 ║ ║ 2⁷ ║ 128 ║ ║ 2¹⁶ ║ 65536 ║
╚══════╩═════════╝ ╚══════╩═════════╝ ╚══════╩═════════╝
💡 À savoir absolument : 2¹⁰ = 1024 ≈ 1000 → c'est pourquoi 1 Ko = 1024 octets et non 1000.