Cours – Numération : entiers en base 2, 10 et 16

BTS SIO SISR 1re année – Mathématiques pour l'informatique – S01 – à lire avant les exercices

Ce que tu dois savoir déjà

• Prérequis : Aucun (puissances, divisions). Pour le TP : S00 – Introduction à Python, à faire hors classe.
• Outils : Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site

À la fin de ce cours tu sauras

• Écrire un entier naturel sous la forme d'une somme de puissances d'une base \(b\) (\(b = 2, 10, 16\)) ;
• Convertir un entier de la base 10 vers la base 2 ou 16 (divisions successives) et inversement (somme pondérée) ;
• Passer directement de la base 2 à la base 16 et inversement (groupes de 4 bits) ;
• Déterminer combien de valeurs on représente avec \(n\) bits et quel est le plus grand entier ;
• Lire une adresse MAC, une adresse IPv4 et un code couleur, et vérifier ses conversions avec Python.

I. Écrire un nombre : la notation positionnelle

Dans l'écriture 1 407 en base 10, la valeur d'un chiffre dépend de sa position :

\[ 1\,407 = 1 \times 10^3 + 4 \times 10^2 + 0 \times 10^1 + 7 \times 10^0 . \]

Cette idée marche avec n'importe quelle base \(b \ge 2\). Dans la base \(b\), on utilise les \(b\) chiffres \(0, 1, \dots, b-1\) et un entier s'écrit

\[ N = a_{k}\, b^{k} + a_{k-1}\, b^{k-1} + \dots + a_1\, b + a_0 , \qquad 0 \le a_i \le b-1 . \]

On note alors \(N = (a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0)_b\). Les trois bases utiles en informatique sont :

Base	Nom	Chiffres	Usage
10	décimale	0 à 9	Notre écriture usuelle
2	binaire	0 et 1	Représentation interne des données (un bit vaut 0 ou 1)
16	hexadécimale	0 à 9 puis A, B, C, D, E, F	Écriture compacte du binaire

En hexadécimal, les lettres représentent les chiffres de dix à quinze :

Lettre	A	B	C	D	E	F
Valeur	10	11	12	13	14	15

Note

Notation. On indique la base en indice : \((1011)_2\), \((CD)_{16}\). Sans indice, c'est la base 10. En Python, 0b1011 est un nombre binaire et 0xCD un nombre hexadécimal.

II. De la base b vers la base 10

Il suffit de calculer la somme pondérée de la définition.

Exemple. \((1101)_2\) :

\[ (1101)_2 = 1\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 1\times1 = 13 . \]

Exemple. \((3F)_{16}\) : le chiffre F vaut 15, donc

\[ (3F)_{16} = 3 \times 16 + 15 \times 1 = 63 . \]

III. De la base 10 vers la base b : les divisions successives

On divise le nombre par \(b\), puis on divise les quotients successifs, jusqu'à obtenir un quotient nul. Les restes, lus du dernier au premier, donnent l'écriture dans la base \(b\).

Exemple. Écrire 205 en binaire.

Division	Quotient	Reste
205 = 2 × 102 + 1	102	1
102 = 2 × 51 + 0	51	0
51 = 2 × 25 + 1	25	1
25 = 2 × 12 + 1	12	1
12 = 2 × 6 + 0	6	0
6 = 2 × 3 + 0	3	0
3 = 2 × 1 + 1	1	1
1 = 2 × 0 + 1	0	1

On lit les restes de bas en haut : \(205 = (11001101)_2\).

Exemple. Écrire 205 en hexadécimal.

Division	Quotient	Reste
205 = 16 × 12 + 13	12	D
12 = 16 × 0 + 12	0	C

Le reste 13 s'écrit D et le reste 12 s'écrit C : \(205 = (CD)_{16}\).

Tip

Contrôle systématique. On revient à la base 10 : \((CD)_{16} = 12 \times 16 + 13 = 205\). Une conversion non vérifiée est une conversion à moitié faite.

IV. Binaire et hexadécimal : le passage direct

Comme \(16 = 2^4\), un chiffre hexadécimal correspond exactement à quatre bits.

Hexa	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Binaire	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Binaire → hexadécimal : on découpe en groupes de 4 bits à partir de la droite, en complétant à gauche par des zéros.

\[ (11001101)_2 = (1100\ 1101)_2 = (CD)_{16} . \]

Hexadécimal → binaire : chaque chiffre est remplacé par ses quatre bits. Ainsi \((2F)_{16} = (00101111)_2\) (on a écrit 2 = 0010 et F = 1111).

V. Bits, octets et nombre de valeurs

Un bit est un chiffre binaire. Un octet est un groupe de 8 bits.

Avec \(n\) bits, on peut écrire \(2^n\) valeurs différentes : les nombres de 0 à \(2^n - 1\). En effet, chaque bit a deux états, indépendamment des autres. Le plus grand nombre s'écrit avec \(n\) chiffres 1 :

\[ (\underbrace{11\dots1}_{n})_2 = 2^{n-1} + \dots + 2 + 1 = 2^n - 1 . \]

Nombre de bits	Valeurs possibles	Plus grand entier
4	16	15
8	256	255
16	65536	65535
32	4294967296	4294967295

Puissances de 2 à connaître :

\(k\)	\(2^k\)
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

VI. Où rencontre-t-on ces écritures ?

Adresse IPv4

Une adresse IPv4 compte 32 bits, présentés en 4 octets séparés par des points. Chaque octet est écrit en décimal, donc entre 0 et 255.

\[ 192.168.1.10 \;=\; 11000000.10101000.00000001.00001010 . \]

Un « octet » de valeur 256 n'existe pas dans une adresse IPv4 : \(256 = 2^8\) dépasse \(2^8 - 1\).

Adresse MAC

Une adresse MAC compte 48 bits, soit 6 octets, écrits en 12 chiffres hexadécimaux (deux par octet), par exemple 00:1A:2B:3C:4D:5E. Le premier octet 00 vaut \((00000000)_2\) et le dernier 5E vaut \((01011110)_2 = 94\).

Couleur web

Le code #FF8000 donne l'intensité de rouge (FF = 255), de vert (80 = 128) et de bleu (00 = 0), chacune sur un octet.

VII. Vérifier avec Python

>>> bin(205)
'0b11001101'
>>> hex(205)
'0xcd'
>>> int("11001101", 2)
205
>>> int("CD", 16)
205

Python sert à contrôler un résultat posé à la main, pas à le remplacer : à l'épreuve, la méthode et les étapes sont évaluées.

À retenir

• En base \(b\), \(N = \sum a_i b^i\) avec \(0 \le a_i \le b-1\).
• 10 → \(b\) : divisions successives, restes lus de bas en haut. \(b\) → 10 : somme pondérée.
• Un chiffre hexadécimal = 4 bits : le passage 2 ↔ 16 se fait par groupes de 4.
• \(n\) bits : \(2^n\) valeurs, de 0 à \(2^n - 1\) ; un octet : 0 à 255.
• IPv4 : 4 octets (32 bits) en décimal ; MAC : 6 octets (48 bits) en hexadécimal.