S14 – Calcul matriciel : inverse et systèmes
| Élément | Détail |
|---|---|
| Niveau | BTS SIO option SISR, 1re année – mathématiques pour l'informatique |
| Séance | S14 (séance 14 sur 19) – Phase 3 |
| Durée | 4 heures |
| Chapitre du programme | Calcul matriciel – inverse, systèmes de Cramer |
| Prérequis | S13 (produit de matrices). |
| Outils | Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site |
Note
Question qui guide la séance : « Comment résoudre un système d'équations linéaires avec des matrices ? »
Objectifs
À la fin de la séance, l'étudiant est capable de :
- Définir l'inverse d'une matrice carrée et vérifier qu'une matrice en est l'inverse ;
- Écrire un système linéaire sous la forme \(AX = B\) ;
- Résoudre un système de Cramer avec \(X = A^{-1}B\) ;
- Calculer l'inverse d'une matrice par la méthode itérative (opérations sur les lignes) ;
- Reconnaître une matrice non inversible au cours du calcul.
Contenu de la séance
| Document | Rôle |
|---|---|
| Cours – Inverse et systèmes | Cours |
| Exercices – Inverse et systèmes linéaires | Exercices |
| TP Python – Méthode de Gauss | TP (éditeur Python intégré) |
| Aide-mémoire – Inverse et systèmes | Aide-mémoire |
Déroulé conseillé (4 h)
| Durée | Activité | Format |
|---|---|---|
| 0 h 00 – 0 h 20 | Rappel S13 et accroche : deux commandes, deux prix inconnus | Oral |
| 0 h 20 – 1 h 30 | Cours : inverse, systèmes de Cramer, méthode des lignes | Cours et questions |
| 1 h 30 – 2 h 45 | Exercices | Individuel, puis binômes |
| 2 h 45 – 3 h 45 | TP Python : résolution exacte avec des fractions | Individuel |
| 3 h 45 – 4 h 00 | Auto-évaluation | Individuel |
Durées indicatives : la séance dure 4 h ; l'enseignant ajuste selon le rythme du groupe.
Application en informatique
Retrouver des tarifs unitaires à partir de factures, dimensionner des ressources à partir de mesures, systèmes d'équations de flux.
Évaluation
- Feuille d'exercices corrigée, scripts du TP validés.
- Auto-évaluation « Je sais faire » en fin d'exercices.
Notes pour l'enseignant
- Programme : le chapitre est rattaché au programme officiel de mathématiques pour l'informatique (voir Programme et épreuve E3).
- Le programme exclut le déterminant et les conditions d'existence de l'inverse : la méthode des lignes montre l'inversibilité par le calcul, sans théorème. Les justifications de la méthode ne sont pas exigées.