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Exercices – Sujet d'entraînement et révisions

BTS SIO SISR 1re année – Mathématiques pour l'informatique – S19

Note

Comment travailler. Cherche d'abord sur papier, avec la méthode du cours : écris les étapes, pas seulement le résultat. Ouvre ensuite « Voir la réponse » pour te corriger. À l'épreuve, aucune réponse sans justification n'est complète.

Auto-diagnostic : une question par séance

Réponds à chaque question sans aide, puis ouvre la réponse. Entoure les séances où tu t'es trompé : ce sont tes révisions prioritaires.

Séance Question Réponse
S01 Convertir 1000 en binaire et en hexadécimal.
Réponse\(1111101000_2\) et \(3E8_{16}\)
S02 Combien d'octets dans 1 Mio ?
Réponse\(2^{20} = 1048576\)
S03 2100 est-elle une année bissextile ?
RéponseNon : divisible par 100 mais pas par 400.
S04 Que vaut \(1 + 2 + \dots + 100\) (boucle POUR) ?
Réponse5050
S05 PGCD et PPCM de 84 et 36.
RéponsePGCD 12, PPCM 252
S06 Décomposer 360 ; combien de diviseurs ?
Réponse\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\) ; \((3+1)(2+1)(1+1) = 24\) diviseurs
S07 Reste de \(3^{100}\) dans la division par 7 ?
Réponse\(3^6 \equiv 1\) ; \(100 = 6 \times 16 + 4\) ; \(3^4 = 81 \equiv 4\) (mod 7)
S08 Nier \(p \Rightarrow q\).
Réponse\(p \wedge \neg q\)
S09 Nier \(\forall x\, \exists y,\ P(x, y)\).
Réponse\(\exists x\, \forall y,\ \neg P(x, y)\)
S10 Simplifier \(a + \overline{a}\,b\).
Réponse\(a + b\)
S11 \(x \mapsto x \bmod 5\) de \(\{0,\dots,9\}\) dans \(\{0,\dots,4\}\) est-elle injective ? surjective ?
RéponseSurjective, pas injective (0 et 5 ont la même image).
S12 Pour t = [4, 8, 15, 16], que valent len(t) et l'indice de 15 ?
Réponselen(t) vaut 4 ; 15 est à l'indice 2 (les indices vont de 0 à 3).
S13 Un produit \((2 \times 3)(3 \times 4)\) existe-t-il ? taille ?
RéponseOui, \(2 \times 4\).
S14 Résoudre \(\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x + 7y = 16 \end{cases}\) avec \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\).
Réponse\(X = A^{-1}B = (3,\ 1)\)
S15 10.0.0.256 est-elle une adresse IPv4 valide ? Bit de parité (paire) de 1011001 ?
RéponseNon (256 > 255). Quatre 1, donc bit de parité 0.
S16 Graphe \(a \to b,\ a \to c,\ b \to d,\ c \to d\) : nombre de chemins de longueur 2 de \(a\) à \(d\) ?
Réponse2 (par \(b\) et par \(c\)).
S17 Dans le graphe valué du cours (sites \(S\) à \(T\)), valeur minimale de \(S\) à \(T\) ?
Réponse13 (méthode de Dijkstra, S17).
S18 Que renvoie est_croissant([1, 3, 2]) si la fonction fait return True dès que t[i] <= t[i+1] ?
RéponseTrue (arrêt trop tôt, dès le couple 1, 3) ; attendu False.

Exercices de synthèse

Ces exercices mêlent plusieurs chapitres. La méthode à suivre est indiquée.

Synthèse 1 – Réseau et arithmétique

Une machine a l'adresse 172.16.77.130/26. (a) Donner le masque, l'adresse réseau et l'adresse de diffusion. (b) Combien de machines peut-on adresser ? (c) 172.16.77.200 est-elle dans le même réseau ?

Voir la réponse

(a) masque 255.255.255.192 ; réseau 172.16.77.128 ; diffusion 172.16.77.191 (\(130 \,\&\, 192 = 128\) ; \(128 + 63 = 191\)). (b) \(2^6 - 2 = 62\). (c) Non : \(200 \,\&\, 192 = 192\), réseau 172.16.77.192.

Synthèse 2 – Congruences

Résoudre \(7x \equiv 3 \pmod{26}\). (Méthode : chercher l'inverse de 7 modulo 26 avec l'algorithme d'Euclide étendu ou par essais.)

Voir la réponse

\(7 \times 15 = 105 = 4 \times 26 + 1\) : l'inverse de 7 est 15. Donc \(x \equiv 15 \times 3 = 45 \equiv 19 \pmod{26}\). Contrôle : \(7 \times 19 = 133 = 5 \times 26 + 3\) ✓.

Synthèse 3 – Contrôle de données

Trois octets \(120, 200, 77\) sont envoyés avec un octet de contrôle \(c\) tel que la somme des quatre octets soit un multiple de 256. (a) Calculer \(c\). (b) On reçoit \(120, 201, 76\) et \(c\) : l'erreur est-elle détectée ? (c) L'adresse 192.168.1.256 est-elle une adresse IPv4 valide ?

Voir la réponse

(a) Somme \(397\) ; \(397 \bmod 256 = 141\) ; \(c = 256 - 141 = 115\) (contrôle : \(397 + 115 = 512\)). (b) \(120 + 201 + 76 + 115 = 512\) : le contrôle réussit alors que deux octets sont faux ; deux erreurs qui se compensent ne sont pas détectées. (c) Non : le dernier octet, 256, dépasse 255.

Synthèse 4 – Boole et matrices

(a) Simplifier \(f = a\,b + a\,\overline{b}\,c + \overline{a}\,b\,c\) par un tableau de Karnaugh. (b) Résoudre \(\begin{cases} 3x + y = 11 \\ 5x + 2y = 19 \end{cases}\) (méthode : inverse de la matrice, donnée : \(\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\)).

Voir la réponse

(a) Les lignes à 1 sont 3, 5, 6, 7 : trois rectangles de 2 cases, \(f = a\,b + a\,c + b\,c\) (majorité). (b) \(X = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), soit \(x = 3\), \(y = 2\) ; contrôle : \(3 \times 3 + 2 = 11\), \(5 \times 3 + 2 \times 2 = 19\).

Je sais faire

Coche honnêtement ; ce que tu ne coches pas se reprend avant la séance suivante.

  • Gérer 2 h pour 2 ou 3 exercices ;
  • Justifier chaque réponse ;
  • Écrire un algorithme complet (en-tête, indentation, commentaires) ;
  • Vérifier un résultat par un autre chemin ;
  • Établir mon plan de révision.

Ce que je dois reprendre : ______________________

Ma question à poser à l'enseignant : ______________________