S07 – Congruences
| Élément | Détail |
|---|---|
| Niveau | BTS SIO option SISR, 1re année – mathématiques pour l'informatique |
| Séance | S07 (séance 7 sur 19) – Phase 2 |
| Durée | 4 heures |
| Chapitre du programme | Arithmétique – congruences |
| Prérequis | S05, S06 (division euclidienne, premiers entre eux). |
| Outils | Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site |
Note
Question qui guide la séance : « Comment calculer « à l'horloge », et à quoi cela sert-il (clés de contrôle, chiffrement, hachage) ? »
Objectifs
À la fin de la séance, l'étudiant est capable de :
- Définir la congruence modulo \(n\) et passer de \(a \equiv b \pmod n\) à \(n \mid a - b\) ;
- Utiliser les propriétés de compatibilité avec l'addition et la multiplication, et calculer une puissance modulo \(n\) ;
- Déterminer si un entier a un inverse modulo \(n\) et le calculer pour de petits modules ;
- Chiffrer et déchiffrer avec le code de César et le code affine ;
- Calculer une clé de contrôle (numéro de sécurité sociale, ISBN-13, IBAN) et parcourir une liste circulaire.
Contenu de la séance
| Document | Rôle |
|---|---|
| Cours – Congruences | Cours |
| Exercices – Calculs modulo n et applications | Exercices |
| TP Python – Chiffrement et clés de contrôle | TP (éditeur Python intégré) |
| Aide-mémoire – Congruences | Aide-mémoire |
Déroulé conseillé (4 h)
| Durée | Activité | Format |
|---|---|---|
| 0 h 00 – 0 h 20 | Accroche : quelle heure sera-t-il dans 100 heures ? | Oral |
| 0 h 20 – 1 h 30 | Cours : définition, propriétés, inverse, applications | Cours et questions |
| 1 h 30 – 2 h 45 | Exercices | Individuel, puis binômes |
| 2 h 45 – 3 h 45 | TP Python : César, affine, clés de contrôle | Individuel |
| 3 h 45 – 4 h 00 | Auto-évaluation | Individuel |
Durées indicatives : la séance dure 4 h ; l'enseignant ajuste selon le rythme du groupe.
Application en informatique
Détecter une erreur de saisie (clés de contrôle), chiffrer (code affine : introduction à la cryptographie), répartir des éléments dans une table de hachage (\(h(x) = x \bmod m\)), parcourir une liste circulaire.
Évaluation
- Feuille d'exercices corrigée, scripts du TP validés.
- Auto-évaluation « Je sais faire » en fin d'exercices.
Notes pour l'enseignant
- Programme : le chapitre est rattaché au programme officiel de mathématiques pour l'informatique (voir Programme et épreuve E3).
- Les exemples d'IBAN et de numéro de sécurité sociale sont fictifs (numéros de test), voir le cours.
- Le programme cite les congruences et leurs propriétés élémentaires, la cryptographie, la correction d'erreurs et le parcours circulaire.