S05 – Divisibilité, division euclidienne et PGCD
| Élément | Détail |
|---|---|
| Niveau | BTS SIO option SISR, 1re année – mathématiques pour l'informatique |
| Séance | S05 (séance 5 sur 19) – Phase 1 |
| Durée | 4 heures |
| Chapitre du programme | Arithmétique – division euclidienne, PGCD |
| Prérequis | S01 ; S04 (boucle tant que). |
| Outils | Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site |
Note
Question qui guide la séance : « Comment savoir si un nombre en divise un autre, et comment trouver leur plus grand diviseur commun sans énumérer tous les diviseurs ? »
Objectifs
À la fin de la séance, l'étudiant est capable de :
- Effectuer une division euclidienne et énoncer son résultat \(a = bq + r\) avec \(0 \le r < b\) ;
- Utiliser les critères de divisibilité (2, 3, 5, 9, 10) ;
- Déterminer les diviseurs et les multiples d'un entier ;
- Calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide et justifier que l'algorithme s'arrête ;
- Reconnaître deux entiers premiers entre eux et calculer un PPCM.
Contenu de la séance
| Document | Rôle |
|---|---|
| Cours – Divisibilité et PGCD | Cours |
| Exercices – Division euclidienne, diviseurs, PGCD | Exercices |
| TP Python – Algorithme d'Euclide | TP (éditeur Python intégré) |
| Aide-mémoire – Division euclidienne et PGCD | Aide-mémoire |
Déroulé conseillé (4 h)
| Durée | Activité | Format |
|---|---|---|
| 0 h 00 – 0 h 20 | Accroche : découper un écran de 1 920 × 1 080 en carrés identiques | Oral |
| 0 h 20 – 1 h 30 | Cours : division euclidienne, diviseurs, algorithme d'Euclide | Cours et questions |
| 1 h 30 – 2 h 45 | Exercices | Individuel, puis binômes |
| 2 h 45 – 3 h 45 | TP Python : Euclide, PPCM, critères | Individuel |
| 3 h 45 – 4 h 00 | Auto-évaluation | Individuel |
Durées indicatives : la séance dure 4 h ; l'enseignant ajuste selon le rythme du groupe.
Application en informatique
Découper un espace en blocs identiques, synchroniser deux tâches périodiques (PPCM), comprendre pourquoi des cycles de parcours se recoupent (S07).
Évaluation
- Feuille d'exercices corrigée, scripts du TP validés.
- Auto-évaluation « Je sais faire » en fin d'exercices.
Notes pour l'enseignant
- Programme : le chapitre est rattaché au programme officiel de mathématiques pour l'informatique (voir Programme et épreuve E3).
- Le programme demande le PGCD de deux entiers ; la relation de Bézout n'est pas exigée et n'est pas traitée.