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Exercices – Conversions et lecture de nombres

BTS SIO SISR 1re année – Mathématiques pour l'informatique – S01

Note

Comment travailler. Cherche d'abord sur papier, avec la méthode du cours : écris les étapes, pas seulement le résultat. Ouvre ensuite « Voir la réponse » pour te corriger. À l'épreuve, aucune réponse sans justification n'est complète.

Exercice 1 – De la base b vers la base 10

Convertir en base 10, en écrivant la somme pondérée : \((101101)_2\), \((3E8)_{16}\), \((FF)_{16}\), \((1000)_2\).

Voir la réponse
  • \((101101)_2 = 1\times32 + 0\times16 + 1\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 1\times1 = 45\).
  • \((3E8)_{16} = 3\times256 + 14\times16 + 8\times1 = 1000\).
  • \((FF)_{16} = 15\times16 + 15 = 255\).
  • \((1000)_2 = 1\times 2^3 = 8\).

Exercice 2 – De la base 10 vers la base 2

Écrire en binaire, avec la méthode des divisions successives : 37, 100, 255, 1 000. Vérifier chaque résultat en le reconvertissant en base 10.

Voir la réponse
Nombre Binaire Vérification
37 100101 1\times32 + 0\times16 + 0\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 1\times1 = 37
100 1100100 1\times64 + 1\times32 + 0\times16 + 0\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 0\times1 = 100
255 11111111 1\times128 + 1\times64 + 1\times32 + 1\times16 + 1\times8 + 1\times4 + 1\times2 + 1\times1 = 255
1000 1111101000 1\times512 + 1\times256 + 1\times128 + 1\times64 + 1\times32 + 0\times16 + 1\times8 + 0\times4 + 0\times2 + 0\times1 = 1000

Exercice 3 – De la base 10 vers la base 16

Écrire en hexadécimal : 255, 1 000, 4 096, 65 535.

Voir la réponse
Nombre Hexadécimal Vérification
255 FF 255 = 15×16 + 15×1
1000 3E8 1000 = 3×256 + 14×16 + 8×1
4096 1000 4096 = 1×4096 + 0×256 + 0×16 + 0×1
65535 FFFF 65535 = 15×4096 + 15×256 + 15×16 + 15×1

Exercice 4 – Binaire et hexadécimal

  1. Écrire en hexadécimal : \((10110111)_2\) et \((1111101000)_2\).
  2. Écrire en binaire sur 12 bits : \((5A3)_{16}\).
Voir la réponse
  1. \((1011\ 0111)_2 = (B7)_{16}\). Pour le second, on complète à gauche : \((0011\ 1110\ 1000)_2 = (3E8)_{16}\).
  2. \(5 = 0101\), \(A = 1010\), \(3 = 0011\) donc \((5A3)_{16} = (010110100011)_2\).

Exercice 5 – Combien de bits ?

  1. Combien de valeurs différentes peut-on représenter avec 10 bits ? avec 12 bits ?
  2. Quel est le plus grand entier écrit avec 10 bits ?
  3. Combien faut-il de bits au minimum pour numéroter 1 000 objets, de 0 à 999 ?
  4. Combien de bits faut-il pour écrire l'entier 300 en binaire ?
Voir la réponse
  1. \(2^{10} = 1024\) et \(2^{12} = 4096\).
  2. \(2^{10} - 1 = 1023\).
  3. Il faut \(2^n \ge 1\,000\). Comme \(2^9 = 512 < 1\,000\) et \(2^{10} = 1024 \ge 1\,000\), il faut 10 bits.
  4. \(2^8 = 256 \le 300 < 512 = 2^9\), donc 9 bits : \(300 = (100101100)_2\).

Exercice 6 – Adresses IPv4

  1. Écrire en binaire l'adresse 10.0.0.255.
  2. Écrire en décimal l'adresse 10101100.00010000.00000101.00010100.
  3. Pourquoi 172.16.256.1 n'est-elle pas une adresse IPv4 valide ?
  4. Combien d'adresses IPv4 existe-t-il, de 0.0.0.0 à 255.255.255.255 ?
Voir la réponse
  1. 00001010.00000000.00000000.11111111
  2. 172.16.5.20
  3. Le troisième octet vaut 256, supérieur à 255 : il ne s'écrit pas sur 8 bits.
  4. Quatre octets indépendants de 256 valeurs chacun : \(256^4 = 2^{32} = 4294967296\) adresses (à lire : 4 294 967 296).

Exercice 7 – Adresses MAC et couleurs

  1. Écrire en binaire l'octet 3C de l'adresse MAC 00:1A:2B:3C:4D:5E.
  2. Combien de bits compte une adresse MAC ? Combien d'adresses MAC différentes existe-t-il en théorie ?
  3. Donner en décimal les trois composantes de la couleur #1E90FF.
Voir la réponse
  1. \(3 = 0011\) et \(C = 1100\), donc 00111100 (soit \(60\)).
  2. 6 octets, donc 48 bits ; \(2^{48} = 281474976710656\) adresses possibles.
  3. 1E = \(1\times16+14 = 30\) ; 90 = \(9\times16 = 144\) ; FF = 255. La couleur est (30, 144, 255).

Exercice 8 – Trouver l'erreur

Un étudiant écrit : « \(37 = (101001)_2\) ». Il a lu les restes dans le mauvais sens.

  1. Que vaut en réalité \((101001)_2\) ?
  2. Quelle est la bonne écriture binaire de 37 ?
Voir la réponse
  1. \((101001)_2 = 1\times32 + 0\times16 + 1\times8 + 0\times4 + 0\times2 + 1\times1 = 41\), ce n'est pas 37.
  2. En lisant les restes de bas en haut : \(37 = (100101)_2\) ; contrôle : \(1\times32 + 0\times16 + 0\times8 + 1\times4 + 0\times2 + 1\times1 = 37\).

Je sais faire

Coche honnêtement ; ce que tu ne coches pas se reprend avant la séance suivante.

  • Écrire un entier en base \(b\) sous forme de somme de puissances ;
  • Convertir 10 → 2 → 10 et 2 → 16 → 2 sans calculatrice ;
  • Donner le nombre de valeurs et le maximum pour \(n\) bits ;
  • Lire une adresse MAC et une adresse IPv4 en binaire ;
  • Vérifier une conversion avec bin, hex et int.

Ce que je dois reprendre : ______________________

Ma question à poser à l'enseignant : ______________________