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Exercices – Simplifier des expressions booléennes

BTS SIO SISR 1re année – Mathématiques pour l'informatique – S10

Note

Comment travailler. Cherche d'abord sur papier, avec la méthode du cours : écris les étapes, pas seulement le résultat. Ouvre ensuite « Voir la réponse » pour te corriger. À l'épreuve, aucune réponse sans justification n'est complète.

Exercice 1 – Simplifier par le calcul

Simplifier, en indiquant la propriété utilisée à chaque étape :

(a) \(a + a\,b\) ; (b) \(a\,b + a\,\overline{b}\) ; (c) \((a + b)(a + \overline{b})\) ; (d) \(a\,\overline{b} + a\,b\,c\) ; (e) \(\overline{a\,b}\,(a + b)\).

Voir la réponse

(a) \(a + a\,b = a\,(1 + b) = a\) (absorption). (b) \(a\,b + a\,\overline{b} = a\,(b + \overline{b}) = a\). (c) \((a + b)(a + \overline{b}) = a + b\,\overline{b} = a + 0 = a\) (distributivité du OU sur le ET). (d) \(a\,\overline{b} + a\,b\,c = a\,(\overline{b} + b\,c) = a\,(\overline{b} + c) = a\,\overline{b} + a\,c\). (e) \(\overline{a\,b}\,(a + b) = (\overline{a} + \overline{b})(a + b) = \overline{a}\,b + a\,\overline{b} = a \oplus b\) (De Morgan, puis \(a\,\overline{a} = 0\)).

Chaque résultat a été confirmé par comparaison des tables de vérité.

Exercice 2 – Nier une expression

Écrire la négation, sans parenthèse barrée sur plus d'une variable : (a) \(a\,b + \overline{c}\) ; (b) \((a + \overline{b})\,c\) ; (c) \(\overline{a}\,b\,c + a\,\overline{c}\).

Voir la réponse

(a) \(\overline{a\,b + \overline{c}} = \overline{a\,b} \cdot c = (\overline{a} + \overline{b})\,c\). (b) \(\overline{a}\,b + \overline{c}\). (c) \(\overline{\overline{a}\,b\,c} \cdot \overline{a\,\overline{c}} = (a + \overline{b} + \overline{c})(\overline{a} + c)\).

On vérifie (c) par la table :

\(a\) \(b\) \(c\) \(\overline{\overline{a}\,b\,c + a\,\overline{c}}\) \((a + \overline{b} + \overline{c})(\overline{a} + c)\)
0 0 0 1 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 0
1 0 0 0 0
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1

Exercice 3 – De la table à l'expression

\(a\) \(b\) \(c\) \(f\)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
  1. Écrire \(f\) en somme de produits (mintermes).
  2. Remplir un tableau de Karnaugh et en déduire une expression simplifiée.
Voir la réponse
  1. Les lignes à 1 sont 0, 1, 4, 5, 7 : \(f = \overline{a}\,\overline{b}\,\overline{c} + \overline{a}\,\overline{b}\,c + a\,\overline{b}\,\overline{c} + a\,\overline{b}\,c + a\,b\,c\).
  2. Tableau de Karnaugh :
\(a \backslash bc\) 00 01 11 10
0 1 1 0 0
1 1 1 1 0

Rectangle de 4 cases (colonnes 00 et 01) : \(\overline{b}\). Rectangle de 2 cases (ligne 1, colonnes 01 et 11) : \(a\,c\). Donc \(f = \overline{b} + a\,c\).

Exercice 4 – Karnaugh

Simplifier avec un tableau de Karnaugh la fonction \(g\) à trois variables qui vaut 1 pour les lignes 0, 2, 3, 6, 7 (numéros en binaire \(abc\)).

Voir la réponse
\(a \backslash bc\) 00 01 11 10
0 1 0 1 1
1 0 0 1 1

Rectangle de 4 cases (colonnes 11 et 10) : \(b\). Rectangle de 2 cases (colonnes 00 et 10 de la ligne 0 : la colonne 10 est voisine de la colonne 00 dans ce tableau circulaire) : \(\overline{a}\,\overline{c}\). Donc \(g = b + \overline{a}\,\overline{c}\).

Exercice 5 – Une alarme à majorité

Une salle est protégée par trois capteurs \(a\), \(b\), \(c\). L'alarme se déclenche quand au moins deux capteurs détectent quelque chose.

  1. Dresser la table de vérité et écrire l'expression en somme de produits.
  2. Simplifier avec Karnaugh. Peut-on faire mieux que trois produits ?
Voir la réponse
  1. \(a\) \(b\) \(c\) \(\text{alarme}\)
    0 0 0 0
    0 0 1 0
    0 1 0 0
    0 1 1 1
    1 0 0 0
    1 0 1 1
    1 1 0 1
    1 1 1 1
  2. \(a \backslash bc\) 00 01 11 10
    0 0 0 1 0
    1 0 1 1 1

Exercice 6 – Portes NAND

  1. Dessiner (ou écrire) \(\overline{a}\), \(a \cdot b\), \(a + b\) à l'aide de portes NAND uniquement.
  2. Simplifier \(\text{NAND}(a, \text{NAND}(a, b))\).
  3. Le OU exclusif s'écrit avec quatre NAND : \(a \oplus b = \text{NAND}\bigl(\text{NAND}(a, n),\ \text{NAND}(b, n)\bigr)\) avec \(n = \text{NAND}(a, b)\). Le vérifier avec une table.
Voir la réponse
  1. Voir le cours (partie VI).
  2. \(\text{NAND}(a, \text{NAND}(a, b)) = \overline{a \cdot \overline{a\,b}} = \overline{a\,(\overline{a} + \overline{b})} = \overline{a\,\overline{b}} = \overline{a} + b\) : c'est l'implication \(a \Rightarrow b\) (S08).
  3. \(a\) \(b\) \(n = \text{NAND}(a,b)\) \(\text{NAND}(a,n)\) \(\text{NAND}(b,n)\) \(\text{NAND}(\text{NAND}(a,n),\text{NAND}(b,n))\) \(a \oplus b\)
    0 0 1 1 1 0 0
    0 1 1 1 0 1 1
    1 0 1 0 1 1 1
    1 1 0 1 1 0 0

Exercice 7 – Additionneur

  1. Additionner à la main \(1 + 1 + 1\) en binaire. Que valent la somme \(s\) et la retenue \(r\) d'un additionneur complet pour \(a = b = c = 1\) ?
  2. Poser l'addition \(0110_2 + 0111_2\) et indiquer, rang par rang, la somme et la retenue.
Voir la réponse
  1. \(1 + 1 + 1 = 3 = 11_2\), donc \(s = 1\) et \(r = 1\).
  2. \(0110_2 = 6\) et \(0111_2 = 7\), somme \(13 = 01101_2\).
Rang (de droite à gauche) 0 1 2 3
\(a\) 0 1 1 0
\(b\) 1 1 1 0
retenue entrante 0 0 1 1
somme \(s\) 1 0 1 1
retenue sortante 0 1 1 0

On lit la somme : retenue finale 0, puis les sommes des rangs 3, 2, 1, 0 : \(01101_2\) ✓.

Exercice 8 – Adresse réseau

Pour chaque couple adresse / préfixe, donner le masque, l'adresse réseau, l'adresse de diffusion et le nombre de machines adressables (voir l'annexe) : (a) 192.168.10.77/26 ; (b) 172.16.45.200/20 ; (c) 10.4.7.19/21.

Voir la réponse
Adresse Masque Réseau Diffusion Machines
192.168.10.77/26 255.255.255.192 192.168.10.64 192.168.10.127 62
172.16.45.200/20 255.255.240.0 172.16.32.0 172.16.47.255 4094
10.4.7.19/21 255.255.248.0 10.4.0.0 10.4.7.255 2046

Je sais faire

Coche honnêtement ; ce que tu ne coches pas se reprend avant la séance suivante.

  • Appliquer De Morgan, l'absorption et la distributivité ;
  • Simplifier avec un tableau de Karnaugh (3 variables) ;
  • Écrire une expression à partir d'une table ;
  • Réaliser NON, ET, OU avec des NAND ;
  • Calculer l'adresse réseau avec un ET bit à bit.

Ce que je dois reprendre : ______________________

Ma question à poser à l'enseignant : ______________________