Aide-mémoire – Inverse et systèmes
BTS SIO SISR 1re année – Mathématiques pour l'informatique – S14
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Inverse
- \(A\) carrée est inversible s'il existe \(A^{-1}\) avec \(A A^{-1} = A^{-1} A = I\).
- Vérification : calculer le produit.
Système AX = B
- Si \(A\) est inversible : \(X = A^{-1}B\) (produit à gauche), solution unique.
- Sinon : aucune solution ou une infinité.
Méthode des lignes
Partir de \([A \mid I]\), arriver à \([I \mid A^{-1}]\).
| Opération | Notation |
|---|---|
| Multiplier une ligne par \(k \neq 0\) | \(L_i \leftarrow k\,L_i\) |
| Ajouter un multiple d'une ligne | \(L_i \leftarrow L_i + k\,L_j\) |
| Échanger deux lignes | \(L_i \leftrightarrow L_j\) |
Pour chaque colonne : pivot 1 sur la diagonale, puis 0 ailleurs. Une ligne de zéros à gauche : non inversible.