S06 – Nombres premiers et décomposition
| Élément | Détail |
|---|---|
| Niveau | BTS SIO option SISR, 1re année – mathématiques pour l'informatique |
| Séance | S06 (séance 6 sur 19) – Phase 2 |
| Durée | 4 heures |
| Chapitre du programme | Arithmétique – nombres premiers, décomposition en facteurs premiers |
| Prérequis | S05 (divisibilité, PGCD). |
| Outils | Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site |
Note
Question qui guide la séance : « Comment reconnaître un nombre premier et décomposer un entier en facteurs premiers de façon fiable ? »
Objectifs
À la fin de la séance, l'étudiant est capable de :
- Définir un nombre premier et justifier qu'il suffit de tester les diviseurs jusqu'à \(\sqrt{n}\) ;
- Dresser la liste des nombres premiers jusqu'à \(N\) par le crible d'Ératosthène ;
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers ;
- En déduire le PGCD, le PPCM et le nombre de diviseurs ;
- Programmer un test de primalité et une décomposition.
Contenu de la séance
| Document | Rôle |
|---|---|
| Cours – Nombres premiers | Cours |
| Exercices – Primalité, décomposition, crible | Exercices |
| TP Python – Premiers et décomposition | TP (éditeur Python intégré) |
| Aide-mémoire – Nombres premiers | Aide-mémoire |
Déroulé conseillé (4 h)
| Durée | Activité | Format |
|---|---|---|
| 0 h 00 – 0 h 20 | Rappel S05 et accroche : « 91 est-il premier ? » | Oral |
| 0 h 20 – 1 h 30 | Cours : primalité, crible, décomposition, applications | Cours et questions |
| 1 h 30 – 2 h 45 | Exercices | Individuel, puis binômes |
| 2 h 45 – 3 h 45 | TP Python : crible, décomposition, premiers palindromes | Individuel |
| 3 h 45 – 4 h 00 | Auto-évaluation | Individuel |
Durées indicatives : la séance dure 4 h ; l'enseignant ajuste selon le rythme du groupe.
Application en informatique
Les nombres premiers servent à la cryptographie à clé publique (S07 en donne un avant-goût avec les congruences) et au hachage (tailles de tables).
Évaluation
- Feuille d'exercices corrigée, scripts du TP validés.
- Auto-évaluation « Je sais faire » en fin d'exercices.
Notes pour l'enseignant
- Programme : le chapitre est rattaché au programme officiel de mathématiques pour l'informatique (voir Programme et épreuve E3).
- Le programme prévoit des algorithmes de recherche de nombres premiers et de factorisation en travaux pratiques.