Cours – Matrices : définitions et opérations
BTS SIO SISR 1re année – Mathématiques pour l'informatique – S13 – à lire avant les exercices
Ce que tu dois savoir déjà
- Prérequis : S12 (tableaux à deux dimensions) ; calcul numérique de base.
- Outils : Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site
À la fin de ce cours tu sauras
- Lire une matrice comme un tableau de nombres représentant une situation ;
- Calculer une somme, un produit par un réel, un produit de deux matrices ;
- Vérifier la compatibilité des tailles avant un produit ;
- Expliquer que le produit n'est pas commutatif et qu'on ne « divise » pas ;
- Calculer une puissance d'une matrice carrée et la matrice identité.
I. Qu'est-ce qu'une matrice ?
Une matrice de taille \(m \times n\) est un tableau de nombres à \(m\) lignes et \(n\) colonnes. Le coefficient de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\) se note \(a_{ij}\) (la ligne d'abord).
Situation. Trois configurations de postes sont décrites par leurs composants (quantités) ; les prix unitaires sont fictifs.
| Configuration | barrettes de RAM (8 Go) | SSD (500 Go) | écran |
|---|---|---|---|
| Bureautique | 1 | 1 | 1 |
| Développement | 2 | 1 | 2 |
| Graphisme | 4 | 2 | 2 |
La matrice des quantités est \(Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \end{pmatrix}\), de taille \(3 \times 3\). Le coefficient \(q_{23}\) (ligne 2, colonne 3) vaut 2 : deux écrans pour la configuration « Développement ».
| Type | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Matrice carrée | autant de lignes que de colonnes | \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) |
| Matrice ligne / colonne | une seule ligne / une seule colonne | prix : \(\begin{pmatrix} 30 \\ 60 \\ 110 \end{pmatrix}\) |
| Matrice nulle | tous les coefficients valent 0 | \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) |
| Matrice identité \(I_n\) | carrée, 1 sur la diagonale, 0 ailleurs | \(I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) |
II. Somme et produit par un réel
On ne peut additionner que deux matrices de même taille, coefficient par coefficient. Le produit par un réel \(k\) multiplie chaque coefficient.
Ces opérations se comportent comme celles des nombres : commutativité de la somme, distributivité de \(k\) sur la somme.
III. Produit de deux matrices
Le produit \(A \times B\) n'existe que si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Si \(A\) est de taille \(m \times n\) et \(B\) de taille \(n \times p\), alors \(AB\) est de taille \(m \times p\).
Le coefficient de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\) de \(AB\) est :
(on multiplie la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\), terme à terme, puis on additionne).
Exemple (coût des configurations). \(Q\) est \(3 \times 3\) et \(P\) est \(3 \times 1\) : le produit existe et il est de taille \(3 \times 1\).
Détail de la première ligne : \(1 \times 30 + 1 \times 60 + 1 \times 110 = 200\). Pour la troisième : \(4 \times 30 + 2 \times 60 + 2 \times 110 = 460\). Le poste « Graphisme » coûte donc 460 €.
Exemple 2 × 3 par 3 × 2. Avec \(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\), \(CD\) est \(2 \times 2\) :
et \(DC\) existe aussi, mais de taille \(3 \times 3\) : \(CD \neq DC\), ne serait-ce que par la taille.
Ce qui change par rapport aux nombres
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Le produit n'est pas commutatif. Avec \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\) : \(AB = \begin{pmatrix} 4 & 13 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}\) mais \(BA = \begin{pmatrix} 2 & 13 \\ 4 & 17 \end{pmatrix}\).
On peut avoir \(AB = 0\) sans que \(A\) ni \(B\) soit nulle. Par exemple \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). On ne peut donc pas « simplifier » : de \(AB = AC\) on ne déduit pas \(B = C\), et on ne « divise » pas par une matrice (l'inverse, quand il existe, est l'objet de S14).
Ce qui reste vrai : \((AB)C = A(BC)\) (associativité), \(A(B + C) = AB + AC\), et \(A I = I A = A\) pour la matrice identité de même taille.
IV. Puissances d'une matrice carrée
\(A^n = A \times A \times \dots \times A\) (\(n\) facteurs), \(A^0 = I\). Seules les matrices carrées ont des puissances.
Matrice diagonale. Pour \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) : \(D^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}\), \(D^3 = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 27 \end{pmatrix}\), et en général \(D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\) (vérifié jusqu'à \(n = 11\)).
Une matrice triangulaire. Pour \(U = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) : \(U^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\), \(U^3 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). On conjecture \(U^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) (vérifié pour \(n\) de 0 à 20).
Les nombres de Fibonacci. Soit \(F = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Ses puissances contiennent la suite \(1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots\) :
En général \(F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}\) (contrôlé pour \(n\) de 1 à 24).
Un processus discret. Un serveur est soit disponible (état 1), soit en panne (état 2). Chaque jour, s'il est disponible il le reste avec la probabilité 0,9 ; s'il est en panne il redevient disponible avec la probabilité 0,4. On range ces probabilités dans la matrice de transition (une ligne = un état de départ, la somme d'une ligne vaut 1) :
Si le serveur est disponible aujourd'hui, la ligne \(X_0 = (1\ \ 0)\) décrit la situation. La répartition au jour \(n\) est \(X_n = X_0 P^n\) :
Après quelques dizaines de jours, \(X_n\) se stabilise autour de \((0{,}8\ \ 0{,}2)\) : à long terme le serveur est disponible 80 % du temps, quel que soit l'état de départ. C'est l'intérêt des puissances de matrices : décrire l'évolution d'un système d'un pas au suivant.
Note
Calculatrice. Le programme autorise la calculatrice pour les sommes, produits et puissances de matrices. Les calculs à la main servent à comprendre ; pour un exercice avec une calculatrice, on écrit les matrices, on indique l'opération et on recopie le résultat.
À retenir
- Matrice \(m \times n\) : \(m\) lignes, \(n\) colonnes ; \(a_{ij}\) = ligne \(i\), colonne \(j\).
- Somme : même taille. Produit \(AB\) : colonnes de \(A\) = lignes de \(B\), résultat \(m \times p\).
- \(AB \neq BA\) en général ; \(AB = 0\) n'implique pas \(A = 0\) ou \(B = 0\).
- \(A I = I A = A\) ; \((AB)C = A(BC)\) ; puissances pour les matrices carrées.