Cours – Matrice inverse et résolution de systèmes
BTS SIO SISR 1re année – Mathématiques pour l'informatique – S14 – à lire avant les exercices
Ce que tu dois savoir déjà
- Prérequis : S13 (produit de matrices).
- Outils : Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site
À la fin de ce cours tu sauras
- Définir l'inverse d'une matrice carrée et vérifier qu'une matrice en est l'inverse ;
- Écrire un système linéaire sous la forme \(AX = B\) ;
- Résoudre un système de Cramer avec \(X = A^{-1}B\) ;
- Calculer l'inverse d'une matrice par la méthode itérative (opérations sur les lignes) ;
- Reconnaître une matrice non inversible au cours du calcul.
I. L'inverse d'une matrice
Pour les nombres, diviser par \(a\) revient à multiplier par \(a^{-1}\). Pour les matrices, on ne « divise » pas (S13), mais certaines matrices carrées ont un inverse.
Une matrice carrée \(A\) d'ordre \(n\) est inversible s'il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que :
Exemple. Pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\), on a \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\). Vérification :
Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles. Une matrice non inversible ne peut être « annulée » par aucune autre : par exemple \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\), dont la seconde ligne est le double de la première (partie V).
II. Un système sous forme matricielle
Un système linéaire s'écrit \(AX = B\), où \(A\) contient les coefficients, \(X\) les inconnues et \(B\) les seconds membres.
Exemple. Trois commandes de matériel réseau (prix inconnus en euros) : un câble (\(x\)), une prise (\(y\)) et un switch (\(z\)).
| Commande | Câbles | Prises | Switchs | Total |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 1 | 31 € |
| 2 | 1 | 3 | 2 | 58 € |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 39 € |
III. Résoudre avec l'inverse
Si \(A\) est inversible, on multiplie à gauche les deux membres par \(A^{-1}\) :
Le système admet alors une seule solution : on dit que c'est un système de Cramer.
Warning
Le produit n'est pas commutatif : c'est \(X = A^{-1}B\) et non \(X = B A^{-1}\) (ce produit n'a d'ailleurs pas la bonne taille pour une colonne \(B\)).
Exemple 2 × 2. \(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 5x + 3y = 18 \end{cases}\), soit \(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}X = \begin{pmatrix} 7 \\ 18 \end{pmatrix}\). Avec \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\) :
Donc \(x = 3\), \(y = 1\). Contrôle : \(2 \times 3 + 1 = 7\) et \(5 \times 3 + 3 \times 1 = 18\) ✓.
Exemple 3 × 3 (les commandes de câbles, prises, switchs). La méthode de la partie IV donne \(A^{-1} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -5 & 1 & 3 \\ 7 & 1 & -5 \end{pmatrix}\) (à vérifier : \(A A^{-1} = I\) ). Alors
Un câble coûte 3 €, une prise 5 € et un switch 20 €.
IV. Calculer l'inverse : la méthode itérative
On écrit \(A\) et la matrice identité côte à côte : \([A \mid I]\). On effectue sur les lignes des opérations autorisées jusqu'à transformer \(A\) en \(I\). Ce qui se trouve alors à droite est \(A^{-1}\) : \([I \mid A^{-1}]\).
Opérations autorisées sur les lignes :
| Opération | Notation |
|---|---|
| Multiplier une ligne par un nombre non nul | \(L_i \leftarrow k\,L_i\) |
| Ajouter à une ligne un multiple d'une autre | \(L_i \leftarrow L_i + k\,L_j\) |
| Échanger deux lignes | \(L_i \leftrightarrow L_j\) |
Stratégie, colonne par colonne : on obtient un 1 sur la diagonale (pivot), puis des 0 dans le reste de la colonne.
Exemple 1. \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}\).
Matrice de départ \([A \mid I]\) :
\(L_1 \leftarrow \frac{1}{2}\,L_1\) :
\(L_2 \leftarrow L_2 - 5 L_1\) :
\(L_2 \leftarrow 2\,L_2\) :
\(L_1 \leftarrow L_1 - \frac{1}{2} L_2\) :
Donc \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}\), conforme à la partie I.
Exemple 2. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\).
Matrice de départ \([A \mid I]\) :
\(L_3 \leftarrow L_3 - 5 L_1\) :
\(L_1 \leftarrow L_1 - 2 L_2\) :
\(L_3 \leftarrow L_3 + 4 L_2\) :
\(L_1 \leftarrow L_1 + 5 L_3\) :
\(L_2 \leftarrow L_2 - 4 L_3\) :
D'où \(A^{-1} = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\). Vérification par le produit : \(A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
Note
Toujours vérifier. Un calcul d'inverse à la main comporte des risques d'erreur ; on contrôle avec \(A A^{-1} = I\) (la calculatrice ou Python le font immédiatement).
V. Quand la matrice n'est pas inversible
Si, au cours de la méthode, on obtient une ligne de zéros à gauche (ou si aucun pivot non nul n'est disponible dans une colonne), la matrice n'est pas inversible.
Exemple. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}\) (la ligne 3 est la somme des lignes 1 et 2).
Matrice de départ \([A \mid I]\) :
\(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\) :
\(L_3 \leftarrow L_3 - 2 L_1\) :
\(L_1 \leftarrow L_1 - L_2\) :
\(L_3 \leftarrow L_3 - L_2\) :
Colonne 3 : aucun pivot non nul sous la diagonale — \(A\) n'est pas inversible :
Le système \(AX = B\) n'est alors pas de Cramer : il a soit aucune solution, soit une infinité. Exemple : \(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases}\) a une infinité de solutions (la seconde équation est le double de la première), tandis que \(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 7 \end{cases}\) n'en a aucune (la seconde donnerait \(x + 2y = 3{,}5\)).
Note
Le programme n'utilise ni le déterminant ni de critère théorique d'inversibilité : c'est le déroulement de la méthode qui permet de conclure.
À retenir
- \(A\) est inversible s'il existe \(A^{-1}\) avec \(A A^{-1} = A^{-1}A = I\) ; il faut une matrice carrée.
- Un système s'écrit \(AX = B\) ; si \(A\) est inversible, \(X = A^{-1}B\) (produit à gauche).
- Méthode : partir de \([A \mid I]\), arriver à \([I \mid A^{-1}]\) par des opérations sur les lignes.
- Ligne de zéros : \(A\) n'est pas inversible.
- Toujours vérifier : \(A A^{-1} = I\) ; reporter la solution dans les équations.