Exercices – Suites : définition, calcul, variation
BTS SIO SISR 2e année – Pour aller plus loin – S01
Note
Comment travailler. Cherche d'abord sur papier, avec la méthode du cours : écris les étapes, pas seulement le résultat. Ouvre ensuite « Voir la réponse » pour te corriger. Aucune réponse sans justification n'est complète.
Exercice 1 – Formule explicite
Soit \(u_n = 4n - 3\). Calculer \(u_0, u_1, u_2, u_3, u_4\) puis \(u_{10}\).
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\(u_0 = -3\), \(u_1 = 1\), \(u_2 = 5\), \(u_3 = 9\), \(u_4 = 13\). Et \(u_{10} = 4 \times 10 - 3 = 37\).
Exercice 2 – Récurrence
Soit \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 1\). Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\).
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\(u_1 = 5\), \(u_2 = 14\), \(u_3 = 41\), \(u_4 = 122\).
Exercice 3 – Modéliser un stockage
Un serveur de fichiers contient 120 Go à la fin du mois 0. Chaque mois, 15 Go de données s'ajoutent. On note \(u_n\) la quantité de données (en Go) à la fin du mois \(n\).
- Écrire une relation de récurrence.
- Trouver une formule explicite et calculer \(u_6\).
- Le disque a une capacité de 300 Go. À la fin de quel mois est-il plein pour la première fois ?
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- \(u_0 = 120\) et \(u_{n+1} = u_n + 15\).
- À chaque mois on ajoute 15 : \(u_n = 120 + 15n\). Donc \(u_6 = 120 + 90 = 210\) Go.
- On cherche le plus petit \(n\) tel que \(120 + 15n \ge 300\), soit \(15n \ge 180\), soit \(n \ge 12\). Le disque est plein à la fin du mois 12 (\(u_{12} = 300\)).
Exercice 4 – Sens de variation
Étudier le sens de variation de \(u_n = n^2 - 6n\) en calculant \(u_{n+1} - u_n\). Donner les premiers termes pour contrôler.
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\(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 6(n+1) - n^2 + 6n = 2n + 1 - 6 = 2n - 5\). Ce nombre est négatif pour \(n \le 2\) (la suite décroît) et positif pour \(n \ge 3\) (elle croît). Contrôle : \(u_0 = 0\), \(u_1 = -5\), \(u_2 = -8\), \(u_3 = -9\), \(u_4 = -8\), \(u_5 = -5\), \(u_6 = 0\). La suite décroît jusqu'à \(u_3\), puis croît.
Exercice 5 – Trace d'une boucle
Dérouler l'algorithme. Quel terme de quelle suite u contient-il à la fin ?
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| Tour | k |
u après |
|---|---|---|
| 0 (départ) | – | 2 |
| 1 | 1 | 5 |
| 2 | 2 | 11 |
| 3 | 3 | 23 |
| 4 | 4 | 47 |
u vaut 47 : c'est le terme \(u_4\) de la suite \(u_0 = 2\), \(u_{n+1} = 2u_n + 1\).
Exercice 6 – Choisir sa méthode
On a \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = u_n + 7\).
- Calculer \(u_1, u_2, u_3\) et deviner une formule explicite.
- En déduire \(u_{100}\) sans calculer 100 termes.
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- \(u_1 = 11\), \(u_2 = 18\), \(u_3 = 25\). On ajoute 7 à chaque rang à partir de 4 : \(u_n = 4 + 7n\).
- \(u_{100} = 4 + 700 = 704\).
(Cette formule sera démontrée en S02 pour les suites de ce type.)
Exercice 7 – Une suite à deux termes
Soit \(u_0 = 1\), \(u_1 = 1\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\). Calculer \(u_2, \dots, u_6\). Comment faut-il adapter la boucle Python ?
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\(u_2 = 2\), \(u_3 = 3\), \(u_4 = 5\), \(u_5 = 8\), \(u_6 = 13\). Il faut garder deux termes : on remplace (a, b) par (b, a + b) à chaque tour.
Je sais faire
Coche honnêtement ; ce que tu ne coches pas se reprend avant la séance suivante.
- Calculer des termes avec une formule explicite et avec une récurrence
- Écrire une relation de récurrence à partir d'un énoncé
- Étudier le signe de \(u_{n+1} - u_n\)
- Dérouler une boucle qui calcule une suite
Ce que je dois reprendre : ______________________
Ma question à poser à l'enseignant : ______________________