Cours – Suites arithmétiques
BTS SIO SISR 2e année – Pour aller plus loin – S02 – à lire avant les exercices
Ce que tu dois savoir déjà
- Prérequis : S01 (définition d'une suite, récurrence, formule explicite).
- Outils : Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site
À la fin de ce cours tu sauras
- Reconnaître une suite arithmétique et déterminer sa raison ;
- Écrire le terme général ;
- Calculer la somme de termes consécutifs ;
- Modéliser une croissance linéaire (stockage, tarifs) ;
- Programmer et tester une suite arithmétique.
I. Définition
Une suite \((u_n)\) est arithmétique s'il existe un nombre \(r\), la raison, tel que pour tout \(n\) :
On ajoute toujours la même quantité. Pour le vérifier sur des données, on calcule les différences \(u_{n+1} - u_n\) : si elles sont toutes égales, la suite est (peut-être) arithmétique ; si deux différences sont distinctes, elle ne l'est pas.
Exemple : \(5, 9, 13, 17, \dots\) a pour raison \(r = 4\). La suite \(1, 2, 4, 7, \dots\) n'est pas arithmétique : les différences sont 1, 2, 3.
II. Terme général
Pour une suite arithmétique de premier terme \(u_0\) et de raison \(r\) :
Plus généralement, pour deux rangs \(p\) et \(n\) : \(u_n = u_p + (n-p)\,r\).
Exemple : \(u_0 = 12\), \(r = 5\) : \(u_{20} = 12 + 100 = 112\).
Sens de variation : si \(r > 0\), croissante ; si \(r < 0\), décroissante ; si \(r = 0\), constante (car \(u_{n+1} - u_n = r\)).
III. Somme de termes consécutifs
La somme de \(k\) termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut :
Pour \(u_0 + u_1 + \dots + u_n\) il y a \(n + 1\) termes :
Pourquoi ? On écrit la somme dans les deux sens et on additionne terme à terme : chaque paire \(u_0 + u_n\), \(u_1 + u_{n-1}\), … vaut la même quantité \(u_0 + u_n\), et il y a \(n+1\) paires pour une somme comptée deux fois.
Cas classique : \(1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\). Par exemple \(1 + 2 + \dots + 100 = 5\,050\).
Warning
Compter les termes : de \(u_p\) à \(u_n\), il y a \(n - p + 1\) termes (et non \(n - p\)). Cette erreur est la plus fréquente.
IV. Modéliser
Un phénomène est arithmétique quand une quantité fixe s'ajoute à chaque période : un journal qui grossit de 25 Mo de plus chaque jour, un tarif fixe plus un prix unitaire, des adresses régulièrement espacées.
Exemple (tarifs). Offre A : 30 € + 4 € par palier de 100 Go, soit \(a_n = 30 + 4n\). Offre B : 50 € + 3 € par palier, soit \(b_n = 50 + 3n\). Elles coûtent autant quand \(30 + 4n = 50 + 3n\), soit \(n = 20\) ; au-delà, B est moins chère.
V. En Python
def terme(u0, r, n):
return u0 + n * r
def somme(u0, r, n):
return (n + 1) * (2 * u0 + n * r) // 2 # (n+1)(u0+un)/2 ; le produit est toujours pair
La somme avec une boucle sert de contrôle : sum(u0 + k * r for k in range(n + 1)).
Test flash. Combien de termes y a-t-il dans la liste \(7, 10, 13, \dots, 100\) ?
Voir la réponse
\(7 + 3k = 100\) donne \(k = 31\). Le rang va de 0 à 31 : 32 termes.
À retenir
- Arithmétique : \(u_{n+1} = u_n + r\) ; \(u_n = u_0 + nr\) ; \(u_n = u_p + (n-p)r\).
- Somme : nombre de termes \(\times\) (premier + dernier) \(/ 2\).
- Nombre de termes de \(u_p\) à \(u_n\) : \(n - p + 1\).
- Croissance linéaire : on ajoute une quantité fixe.