Cours 2 – Exponentielle et logarithme

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M1, seconde partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : reconnaître une croissance ou une décroissance exponentielle ; utiliser les puissances et la fonction exponentielle ; comprendre le logarithme comme l'outil qui retrouve un exposant ; résoudre une équation d'exposant ; calculer un seuil (le plus petit entier qui dépasse une valeur).

Prérequis. Le cours 1 et les puissances entières.

1. Pour démarrer : une croissance qui s'emballe

Le stockage d'une entreprise augmente de 5 % chaque année. Il vaut 1 000 Go aujourd'hui. Chaque année, on multiplie par \(1{,}05\) :

Année \(n\)	0	1	2	3	10
Stockage (Go)	1 000	1 050	1 102,5	1 157,6	1 628,9

La formule est \(S(n) = 1000 \times 1{,}05^{\,n}\). Ce n'est pas une fonction affine : on n'ajoute pas toujours la même quantité (50 Go), on multiplie toujours par le même facteur (1,05). Plus le stock est grand, plus il grandit vite : c'est la croissance exponentielle.

2. Les fonctions exponentielles

Définition. Pour un nombre \(a > 0\), la fonction \(x \mapsto a^{x}\) est une fonction exponentielle de base \(a\).

• Si \(a > 1\), elle est croissante (croissance : \(a = 1{,}05\) pour \(+5\) %).
• Si \(0 < a < 1\), elle est décroissante (décroissance : \(a = 0{,}85\) pour \(-15\) %).
• Elle est toujours strictement positive : \(a^{x} > 0\), quelle que soit la valeur de \(x\).
• \(a^{0} = 1\) : toutes ces courbes passent par le point \((0\,;\,1)\).

Lien avec les pourcentages. Une évolution de \(t\) % par période se traduit par un coefficient multiplicateur \(a = 1 + \dfrac{t}{100}\). Pour une baisse, \(t\) est négatif.

Évolution	Coefficient \(a\)
\(+5\) %	\(1{,}05\)
\(+20\) %	\(1{,}2\)
\(-15\) %	\(0{,}85\)
\(-50\) %	\(0{,}5\)

Exemple résolu. Un serveur acheté 2 000 € perd 15 % de sa valeur chaque année. Quelle est sa valeur après 3 ans ?

Voir la solution

Chaque année, on multiplie par \(0{,}85\). Après \(n\) années : \(V(n) = 2000 \times 0{,}85^{\,n}\). Pour \(n = 3\) : \(0{,}85^{3} = 0{,}614125\), donc \(V(3) = 1\,228{,}25\) €.

Contrôle : perdre 15 % trois fois ne fait pas perdre 45 % (ce serait \(1\,100\) €) : la perte se calcule à chaque fois sur la valeur restante, d'où une valeur finale supérieure.

Le nombre e et la fonction exponentielle

Parmi toutes les bases possibles, une est privilégiée en sciences : le nombre \(e \approx 2{,}718\). La fonction \(x \mapsto e^{x}\) (touche exp ou \(e^{x}\) de la calculatrice) est la fonction exponentielle. Elle a une propriété remarquable : sa dérivée est elle-même (on le verra dans le module M2), ce qui la rend naturelle pour décrire les phénomènes où la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente (pannes, désintégration, charge d'un condensateur).

Règles de calcul (valables pour toutes les bases) :

\[ e^{a+b} = e^{a}\,e^{b}, \qquad e^{a-b} = \dfrac{e^{a}}{e^{b}}, \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}, \qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^{a}}. \]

Tip

Astuce. Si tu hésites sur une règle, teste-la sur des nombres simples : \(e^{1+1} = e^{2}\) et \(e^{1} \times e^{1} = e^{2}\). Ça marche ; en revanche \(e^{1} + e^{1} = 2e\), qui n'est pas \(e^{2}\) : l'exponentielle transforme les sommes d'exposants en produits, pas les sommes de puissances.

3. Le logarithme népérien : retrouver un exposant

Le problème. Dans l'exemple du stockage, on veut savoir au bout de combien d'années on atteint 1 500 Go. Il faut résoudre \(1{,}05^{\,n} = 1{,}5\) : l'inconnue est dans l'exposant. Aucune opération simple (addition, multiplication, racine) ne permet de « descendre » l'exposant. Il faut un nouvel outil.

Définition. Pour \(x > 0\), le logarithme népérien de \(x\), noté \(\ln x\), est l'exposant auquel il faut élever \(e\) pour obtenir \(x\) :

\[ \ln x = y \iff e^{y} = x. \]

Exemples : \(\ln(e^{3}) = 3\) ; \(\ln(1) = 0\) car \(e^{0} = 1\) ; \(\ln(e) = 1\). Le logarithme n'existe que pour \(x > 0\) : l'exponentielle étant toujours positive, on ne peut obtenir un nombre négatif ou nul.

La courbe de ln est le symétrique de celle de exp par rapport à la droite y = x (pointillés) : les deux fonctions « se défont ».

Sur la figure, la courbe de \(\ln\) est la symétrique de celle de \(\exp\) par rapport à la droite \(y = x\) : les deux fonctions s'annulent mutuellement.

\[ \ln(e^{x}) = x \quad (x \text{ quelconque}), \qquad e^{\ln x} = x \quad (x > 0). \]

Règles de calcul du logarithme :

\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b, \qquad \ln(a^{n}) = n \ln a. \]

Warning

Piège classique. \(\ln(a + b)\) n'est pas \(\ln a + \ln b\). Le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes. Par exemple \(\ln(2 \times 3) = \ln 2 + \ln 3 \approx 1{,}79\), alors que \(\ln(2 + 3) = \ln 5 \approx 1{,}61\).

4. Résoudre une équation d'exposant

On applique la même idée : le logarithme défait l'exponentielle, l'exponentielle défait le logarithme.

Équation	On applique	Solution
\(e^{u} = k\) (\(k > 0\))	\(\ln\) des deux côtés	\(u = \ln k\)
\(\ln x = k\)	\(\exp\) des deux côtés	\(x = e^{k}\)
\(a^{x} = k\) (\(a > 0\), \(a \ne 1\), \(k > 0\))	\(\ln\) des deux côtés	\(x = \dfrac{\ln k}{\ln a}\)

Exemple résolu. Résoudre \(e^{0{,}2t} = 3\) et \(\ln x = 2\).

Voir la solution

Première équation. On prend le logarithme : \(0{,}2t = \ln 3\), donc \(t = \dfrac{\ln 3}{0{,}2} = 5\ln 3 \approx 5{,}49\).

Seconde équation. \(\ln x = 2\) signifie \(x = e^{2} \approx 7{,}39\).

Contrôle : \(e^{0{,}2 \times 5{,}49} = e^{1{,}098} \approx 3\) ✔.

5. Les seuils : « au bout de combien de temps dépasse-t-on... »

C'est la question la plus fréquente à l'épreuve. On cherche le plus petit entier \(n\) tel qu'une suite géométrique dépasse un seuil.

Méthode en 4 étapes.

1. Écrire l'inéquation : par exemple \(1000 \times 1{,}05^{\,n} \ge 1500\).
2. Isoler la puissance : \(1{,}05^{\,n} \ge 1{,}5\).
3. Prendre le logarithme des deux côtés. Comme \(\ln\) est croissante, le sens de l'inégalité est conservé : \(n \ln 1{,}05 \ge \ln 1{,}5\). On divise par \(\ln 1{,}05\), qui est positif (car \(1{,}05 > 1\)), donc le sens reste le même : \(n \ge \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}05} \approx 8{,}31\).
4. Conclure avec un entier : le plus petit entier supérieur ou égal à \(8{,}31\) est \(9\).

Warning

Attention au sens. Quand on divise par un logarithme négatif, l'inégalité change de sens. Cela arrive pour une base \(a\) entre 0 et 1 (décroissance) : \(\ln a < 0\). Exemple : \(0{,}85^{\,n} \le 0{,}5\) donne \(n \ge \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}85}\), car on a divisé par \(\ln 0{,}85 < 0\).

Contrôle systématique. Calcule la valeur à \(n = 8\) et à \(n = 9\) pour vérifier : \(1{,}05^{8} \approx 1{,}477\) (trop petit) et \(1{,}05^{9} \approx 1{,}551\) (assez grand). Le seuil est bien atteint la 9e année.

Exemple résolu. Au bout de combien d'années le stockage double-t-il (taux de 5 % par an) ?

Voir la solution

On cherche \(n\) entier avec \(1{,}05^{\,n} \ge 2\), donc \(n \ge \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \approx 14{,}21\).

Le plus petit entier convenable est 15 ans. Contrôle : \(1{,}05^{14} \approx 1{,}980 < 2\) et \(1{,}05^{15} \approx 2{,}079 \ge 2\).

Variante avec Python. Une boucle donne le même seuil sans logarithme, et sert de contrôle :

n = 0
valeur = 1000
while valeur < 1500:
    valeur = valeur * 1.05
    n = n + 1
print(n)   # 9

6. Interpréter : quand le résultat n'est pas « propre »

Les valeurs \(8{,}31\) ou \(14{,}21\) ne sont pas des années entières : on les arrondit au plus petit entier supérieur, car le seuil est atteint à la fin de la période concernée. L'arrondi dépend du contexte : pour « au bout de combien d'années au plus reste-t-il moins de... », on arrondit selon le sens de l'inégalité, toujours en vérifiant avec les deux entiers voisins.

7. À retenir

Note

• Évolution de \(t\) % : coefficient multiplicateur \(a = 1 + \dfrac{t}{100}\) ; après \(n\) périodes, on multiplie par \(a^{n}\).
• \(a^{x}\) est croissante si \(a > 1\), décroissante si \(0 < a < 1\), toujours strictement positive.
• \(\ln x\) est l'exposant qui donne \(x\) en base \(e\) ; \(\ln\) n'existe que pour \(x > 0\).
• \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a^{n}) = n\ln a\), mais \(\ln(a+b) \ne \ln a + \ln b\).
• Résoudre \(a^{n} \ge c\) : \(n \ge \dfrac{\ln c}{\ln a}\) (si \(a > 1\)), puis arrondir à l'entier et contrôler.

8. Teste-toi

Question 1. Un trafic de 800 Go par mois augmente de 10 % par mois. Quel trafic au bout de 3 mois ?

Question 2. Simplifier \(\ln 8 - \ln 2\).

Question 3. Au bout de combien de mois le trafic de départ de 3 To, avec \(+10\) % par mois, dépasse-t-il 10 To ?

Question 4. Résoudre \(e^{x} = 0{,}5\).

Voir les réponses

1. \(800 \times 1{,}1^{3} = 800 \times 1{,}331 = 1\,064{,}8\) Go.
2. \(\ln 8 - \ln 2 = \ln\dfrac{8}{2} = \ln 4 \approx 1{,}386\).
3. \(3 \times 1{,}1^{\,n} \ge 10\) donne \(n \ge \dfrac{\ln(10/3)}{\ln 1{,}1} \approx 12{,}63\) : 13 mois. Contrôle : \(3 \times 1{,}1^{12} \approx 9{,}41\) et \(3 \times 1{,}1^{13} \approx 10{,}36\).
4. \(x = \ln 0{,}5 \approx -0{,}693\).

Pour continuer : le cours 3, puis les exercices du module et le module M2 sur la dérivée.