Cours 4 – Dérivées de fonctions composées et asymptotes
BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M2, quatrième partie
Note
Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : dériver \(u^{n}\), \(\ln u\), \(e^{u}\) et \(\sqrt{u}\) ; repérer une asymptote verticale et une asymptote oblique et les justifier par une limite ; mener l'étude complète d'une fonction (limites, dérivée, variations, asymptotes).
Prérequis. Les cours 1 (dérivée, variations) et 2 (limites, asymptote horizontale).
1. Pour démarrer : une dérivée qui ne rentre pas dans le tableau
On modélise l'intensité d'un signal par \(f(x) = (2x + 1)^{3}\). On pourrait développer, mais pour \(\left(2x+1\right)^{20}\) ce serait absurde. Il faut une règle pour dériver une fonction à l'intérieur d'une autre (une composée) : ici, la puissance 3 s'applique à \(u(x) = 2x + 1\).
2. Les quatre règles à connaître
Pour une fonction \(u\) dérivable, de dérivée \(u'\) :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^{n}\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(n\) entier |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(e^{u}\) | \(u'\,e^{u}\) | |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
Le réflexe. Dans les quatre cas, on dérive « comme d'habitude » et on multiplie par la dérivée de l'intérieur (\(u'\)). Oublier ce facteur \(u'\) est l'erreur la plus fréquente.
Exemples résolus. Dériver \(f(x) = (2x+1)^{3}\), \(g(x) = \ln(x^{2} + 1)\), \(h(x) = e^{x^{2}}\) et \(k(x) = \sqrt{3x + 4}\).
Voir les solutions
- \(f\) : \(u = 2x + 1\), \(u' = 2\), \(n = 3\). Donc \(f'(x) = 3 \times 2 \times (2x+1)^{2} = 6(2x+1)^{2}\).
- \(g\) : \(u = x^{2} + 1\) (toujours \(> 0\)), \(u' = 2x\). Donc \(g'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}\).
- \(h\) : \(u = x^{2}\), \(u' = 2x\). Donc \(h'(x) = 2x\,e^{x^{2}}\).
- \(k\) : \(u = 3x + 4\), \(u' = 3\). Donc \(k'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x + 4}}\) (pour \(x > -\dfrac{4}{3}\)).
Contrôle numérique. Pour \(g\), en \(x = 1\) : \(g'(1) = \dfrac{2}{2} = 1\). Le taux d'accroissement entre 1 et 1,001 vaut \(\dfrac{\ln(2{,}002001) - \ln 2}{0{,}001} \approx 1{,}0000\ \) (à \(10^{-3}\) près) : cohérent.
Warning
Piège. \((e^{2x})'\) n'est pas \(e^{2x}\) : c'est \(2\,e^{2x}\). Et \((\ln(5x))' = \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}\) : le 5 se simplifie.
3. Asymptote verticale
Définition. Si \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) quand \(x\) tend vers un réel \(a\), la droite \(x = a\) est une asymptote verticale : la courbe « colle » à cette droite sans jamais la traverser.
On la rencontre aux valeurs interdites : en \(0\) pour \(\dfrac{1}{x}\) (quand \(x \to 0^{+}\), \(\dfrac{1}{x} \to +\infty\)), et pour \(\ln x\) (quand \(x \to 0^{+}\), \(\ln x \to -\infty\)). Le symbole \(0^{+}\) signifie qu'on s'approche de 0 par valeurs positives.
4. Asymptote oblique
Définition. Si \(f(x) - (ax + b)\) tend vers 0 quand \(x \to +\infty\), la droite \(y = ax + b\) est une asymptote oblique : à l'infini, la courbe se confond avec cette droite.
Méthode. On calcule la différence \(f(x) - (ax + b)\) et on montre qu'elle tend vers 0.
5. Une étude complète
Un traitement par lots coûte, pour un lot de \(x\) milliers de requêtes, un coût moyen (en euros)
(\(x\) : frais de gestion qui croissent avec la taille du lot ; \(\dfrac{4}{x}\) : frais fixes répartis sur le lot.)
1. Limites et asymptotes
Quand \(x \to 0^{+}\), \(\dfrac{4}{x} \to +\infty\) donc \(C(x) \to +\infty\) : la droite \(x = 0\) est asymptote verticale.
Quand \(x \to +\infty\), \(C(x) - x = \dfrac{4}{x} \to 0\) : la droite \(y = x\) est asymptote oblique. La courbe est toujours au-dessus (car \(\dfrac{4}{x} > 0\)).
2. Dérivée et variations
\(C'(x) = 1 - \dfrac{4}{x^{2}} = \dfrac{x^{2} - 4}{x^{2}}\). Pour \(x > 0\) : \(C'(x) = 0\) en \(x = 2\), négatif avant, positif après.
| \(x\) | 0 | 2 | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(C'(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) | ||
| \(C(x)\) | \(+\infty\) | décroît | 4 | croît | \(+\infty\) |
3. Valeurs et interprétation
| \(x\) | 0,1 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 10 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C(x)\) | 40,1 | 8,5 | 5 | 4 | 5 | 10,4 | 100,04 |
Le coût moyen est minimal pour un lot de 2 000 requêtes : 4 € par millier. Trop petit, les frais fixes dominent ; trop grand, la gestion coûte trop. À \(x = 100\), \(C\) vaut 100,04 : on est quasi sur l'asymptote \(y = x\) (écart \(0{,}04\)).
6. À retenir
Note
- \((u^{n})' = n\,u'\,u^{n-1}\) ; \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\) ; \((e^{u})' = u'\,e^{u}\) ; \((\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\). On n'oublie jamais \(u'\).
- Asymptote verticale \(x = a\) : \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to a\). Asymptote oblique \(y = ax + b\) : \(f(x) - (ax + b) \to 0\).
- Étude complète : domaine, limites aux bornes, dérivée, signe, tableau de variations, asymptotes, interprétation.
7. Teste-toi
Question 1. Dériver \(f(x) = (x^{2} + 1)^{4}\) et \(g(x) = e^{-3x}\).
Question 2. Dériver \(h(x) = \ln(2x + 5)\) pour \(x > -2{,}5\).
Question 3. Quelle asymptote a \(f(x) = 2x + 1 + \dfrac{3}{x}\) quand \(x \to +\infty\) ? Quand \(x \to 0^{+}\) ?
Voir les réponses
- \(f'(x) = 4 \times 2x\,(x^{2}+1)^{3} = 8x(x^{2}+1)^{3}\) ; \(g'(x) = -3\,e^{-3x}\).
- \(h'(x) = \dfrac{2}{2x + 5}\).
- \(f(x) - (2x + 1) = \dfrac{3}{x} \to 0\) : asymptote oblique \(y = 2x + 1\). Quand \(x \to 0^{+}\), \(\dfrac{3}{x} \to +\infty\) : asymptote verticale \(x = 0\).
Pour continuer : le cours 5 sur les primitives, les aires et les méthodes numériques.