Cours 3 – Primitives et intégrales
BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M2, troisième partie
Note
Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : expliquer l'intégrale comme cumul (aire sous une courbe) ; vérifier qu'une fonction est une primitive en la dérivant ; calculer une intégrale avec une primitive ; calculer et interpréter une valeur moyenne.
Méthode. Dans ce cours, on justifie une primitive proposée en la dérivant. Le cours 5 apprend ensuite à la trouver pour les formes \(u'u^{n}\), \(\dfrac{u'}{u}\) et \(u'e^{u}\). Sont exclus du programme : l'intégration par parties et les primitives de \(\cos(\omega t + \varphi)\) et \(\sin(\omega t + \varphi)\).
1. Pour démarrer : cumuler une grandeur
Un lien transfère des données à un débit constant de 2 Go par heure. En 3 heures, la quantité transférée est \(2 \times 3 = 6\) Go. Sur un graphique du débit en fonction du temps, c'est l'aire d'un rectangle de largeur 3 et de hauteur 2.
Mais si le débit varie (par exemple \(d(t) = e^{-t/2}\) Go par heure, qui décroît), la quantité totale est toujours une aire : celle de la zone comprise entre la courbe du débit et l'axe du temps. Cette aire s'appelle l'intégrale du débit.
2. Primitive : l'opération « inverse » de la dérivation
Définition. Une primitive de \(f\) est une fonction \(F\) dont la dérivée est \(f\) : \(F' = f\).
Une fonction qui a une primitive en a une infinité : si \(F\) est une primitive, \(F + k\) (avec \(k\) constante) en est une aussi, car la dérivée d'une constante est nulle.
Comment on procède ici. Pour les cas simples ou compliqués, l'énoncé (ou la calculatrice formelle) propose une primitive, et on la justifie en dérivant. Les formes courantes se retrouvent par une méthode (cours 5).
Exemple résolu. Montrer que \(F(x) = x\,e^{x} - e^{x}\) est une primitive de \(f(x) = x\,e^{x}\).
Voir la solution
On dérive \(F\). Pour \(x\,e^{x}\), la règle du produit donne \(e^{x} + x\,e^{x}\) ; pour \(-e^{x}\), on obtient \(-e^{x}\). Donc
\(F\) est bien une primitive de \(f\). ✔
Tip
Les primitives simples à connaître. Elles se vérifient toutes en dérivant : une primitive de \(x^{n}\) est \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) (pour \(n \ne -1\)) ; de \(e^{x}\) est \(e^{x}\) ; de \(e^{kx}\) est \(\dfrac{1}{k}e^{kx}\) ; de \(\dfrac{1}{x}\) est \(\ln x\) (pour \(x > 0\)). Ne les « devine » pas : dérive pour contrôler.
3. L'intégrale : aire et cumul
Définition. Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a\,;\,b]\), l'intégrale de \(f\) de \(a\) à \(b\) est
Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie (la constante \(k\) disparaît dans la soustraction).
Ce que représente l'intégrale.
- Si \(f \ge 0\) sur \([a\,;\,b]\), c'est l'aire sous la courbe entre \(a\) et \(b\) ;
- c'est surtout un cumul : si \(f\) est un débit, l'intégrale est le volume total écoulé ; si \(f\) est un coût par unité (coût marginal), c'est le coût total ajouté.
Propriétés utiles.
| Propriété | Écriture |
|---|---|
| Linéarité | \(\displaystyle\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g\) et \(\displaystyle\int_a^b k f = k \int_a^b f\) |
| Relation de Chasles | \(\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f\) |
| Positivité | si \(f \ge 0\) sur \([a\,;\,b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f \ge 0\) |
Exemple résolu 1. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1)\,dx\).
Voir la solution
On propose \(F(x) = x^3 - 2x^2 + x\). Vérification : \(F'(x) = 3x^2 - 4x + 1\) ✔. Donc
Exemple résolu 2 : un débit qui décroît. Le débit d'un transfert est \(d(t) = e^{-t/2}\) (en Go par heure). Quelle quantité est transférée de \(t = 0\) à \(t = 4\) ?
Voir la solution
Primitive proposée : \(D(t) = -2e^{-t/2}\). Vérification : \(D'(t) = -2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)e^{-t/2} = e^{-t/2}\) ✔.
Interprétation. Il est transféré environ 1,73 Go en 4 heures. Contrôle d'ordre de grandeur : le débit passe de 1 Go/h à 0,14 Go/h en 4 heures, donc le cumul doit être entre 0,14 × 4 et 1 × 4, soit entre 0,6 et 4 : 1,73 est plausible.
4. La valeur moyenne
Définition. La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;\,b]\) est
C'est la hauteur du rectangle de même base \([a\,;\,b]\) et de même aire que la zone sous la courbe : la valeur constante qui donnerait le même cumul.
Exemple résolu. Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = x^2 + 1\) sur \([0\,;\,3]\).
Voir la solution
Primitive proposée : \(F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x\). Vérification : \(F'(x) = x^2 + 1\) ✔.
\(\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx = F(3) - F(0) = (9 + 3) - 0 = 12\). La valeur moyenne est \(\mu = \dfrac{12}{3} = 4\).
Interprétation. Si \(f\) représente une charge, elle vaut en moyenne 4 sur l'intervalle (elle part de 1 et finit à 10).
5. Vérifier une intégrale avec Python
Une somme de petits rectangles approche l'aire :
from math import exp
def integrale(f, a, b, n=100000):
h = (b - a) / n
return sum(f(a + (i + 0.5) * h) for i in range(n)) * h
print(integrale(lambda t: exp(-t / 2), 0, 4)) # 1.7293...
On retrouve \(2 - 2e^{-2} \approx 1{,}7293\). Ce calcul numérique sert de contrôle du calcul exact.
6. À retenir
Note
- Une primitive \(F\) de \(f\) vérifie \(F' = f\). On la justifie par dérivation.
- \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\) : c'est l'aire sous la courbe (si \(f \ge 0\)) et surtout un cumul.
- Valeur moyenne : \(\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
- Toujours donner l'unité et interpréter : volume transféré, coût total, charge moyenne.
7. Teste-toi
Question 1. Montrer que \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\) est une primitive de \(x^2\), puis calculer \(\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx\).
Question 2. Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx\).
Question 3. Une consommation instantanée est \(p(t) = 2t\) (en kW) entre \(t = 0\) et \(t = 5\) heures. Quelle énergie cumulée (en kWh) ? Quelle puissance moyenne ?
Voir les réponses
- \(F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} = x^2\) ✔. \(\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx = F(3) - F(1) = 9 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3} \approx 8{,}67\).
- \(\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx = e^{1} - e^{0} = e - 1 \approx 1{,}72\).
- Primitive \(P(t) = t^2\) (dérivée \(2t\)). Énergie : \(P(5) - P(0) = 25\) kWh. Puissance moyenne : \(\dfrac{25}{5} = 5\) kW (c'est la moyenne de 0 et 10, car la puissance est affine).
Pour continuer : les exercices du module, puis le module M3 sur la statistique.