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Cours 2 – Lois de Poisson et normale

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M4, seconde partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : reconnaître quand utiliser la loi de Poisson (événements rares) et la loi normale (mesures continues) ; calculer des probabilités avec la calculatrice ; retrouver un seuil (par exemple « 95 % des cas sous quel temps ? ») ; choisir la bonne loi selon la situation.

Prérequis. Le cours 1.

1. Pour démarrer : deux situations, deux modèles

Situation A. Un service reçoit en moyenne 2 incidents par jour. Quelle est la probabilité qu'un jour donné il n'y en ait aucun ? Au moins 5 ? Ici, on compte des événements qui surviennent au hasard dans le temps.

Situation B. Le temps de réponse d'une application est de 100 ms en moyenne, avec une dispersion de 8 ms. Quelle est la probabilité qu'il dépasse 115 ms ? Ici, on mesure une grandeur qui peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle.

La situation A relève de la loi de Poisson, la situation B de la loi normale.

2. La loi de Poisson : compter des événements rares

Quand l'utiliser. On compte le nombre d'événements (pannes, requêtes rares, incidents) qui se produisent au hasard, indépendamment les uns des autres, à un rythme moyen constant sur une période donnée.

La loi. Si le nombre moyen d'événements est \(\lambda\) (« lambda »), la variable \(X\) qui compte les événements suit la loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) :

\[ P(X = k) = e^{-\lambda}\,\dfrac{\lambda^{k}}{k!}, \qquad E(X) = V(X) = \lambda. \]

Le symbole \(k!\) (« factorielle \(k\) ») vaut \(1 \times 2 \times \dots \times k\), avec \(0! = 1\). Une particularité : l'espérance et la variance sont égales à \(\lambda\).

Exemple. Avec \(\lambda = 2\) incident par jour :

\(k\) 0 1 2 3 4 5
\(P(X = k)\) 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361
0,0 0,1 0,2 0,3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k (incidents dans la journée) probabilité 0,135 0,271 0,271 0,180 0,090 0,036 0,012 0,003 0,001
Loi de Poisson de paramètre 2 : la valeur la plus probable est 1 ou 2 incidents par jour, mais 5 ou plus reste possible (environ 5 %).

Exemple résolu. Pour \(\lambda = 2\), calculer \(P(X = 0)\), \(P(X = 3)\) et \(P(X \ge 5)\). À quelle fréquence atteint-on au moins 5 incidents par jour ?

Voir la solution

\(P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}1353\). \(P(X = 3) = e^{-2}\dfrac{2^{3}}{3!} = e^{-2} \times \dfrac{8}{6} \approx 0{,}1804\).

Pour \(P(X \ge 5)\), on utilise l'événement contraire : \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 1 - 0{,}9473 = 0{,}0527\).

Interprétation. Environ 5,3 % des jours, soit à peu près un jour sur 19 (environ 19 jours par an) : une permanence renforcée déclenchée à partir de 5 incidents est rare, mais pas exceptionnelle.

Lien avec la loi binomiale. Quand \(n\) est grand et \(p\) petit, \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) est très proche de \(\mathcal{P}(\lambda)\) avec \(\lambda = np\). Par exemple, 200 transmissions échouant chacune avec la probabilité \(0{,}01\) : \(\lambda = 2\), et \(P(X = 0)\) vaut \(0{,}1340\) (binomiale) contre \(0{,}1353\) (Poisson). La loi de Poisson est plus simple à manier.

3. La loi normale : la « cloche »

Variable continue. Un temps de réponse peut valoir 100 ms, 100,3 ms, 100,3257 ms... : il prend toutes les valeurs d'un intervalle. On ne peut plus lister des probabilités ponctuelles : la probabilité d'une valeur exacte est nulle, et on calcule des probabilités d'intervalles : \(P(X \le 105)\), \(P(90 \le X \le 110)\).

La densité. Une probabilité d'intervalle est une aire sous une courbe, la courbe de densité (comme l'intégrale du module M2 : le cumul d'une quantité).

La loi normale \(\mathcal{N}(m\,;\,\sigma)\) a une courbe de densité en cloche, symétrique autour de \(m\) (la moyenne), plus ou moins étalée selon \(\sigma\) (l'écart type).

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 76 84 92 100 108 116 124 x (ms) densité ≈ 68 % ≈ 95 % entre 84 et 116
Loi normale de moyenne 100 et d’écart type 8 : environ 68 % des valeurs sont entre 92 et 108 (moyenne ± σ), environ 95 % entre 84 et 116 (moyenne ± 2σ).

À retenir sur la cloche.

  • \(P(m - \sigma \le X \le m + \sigma) \approx 0{,}68\) ;
  • \(P(m - 2\sigma \le X \le m + 2\sigma) \approx 0{,}95\) ;
  • la cloche est symétrique : \(P(X \le m) = 0{,}5\).

Calculer une probabilité

À la calculatrice (voir l'aide-mémoire). On donne les bornes, la moyenne et l'écart type. Pour \(X \sim \mathcal{N}(100\,;\,8)\) :

  • \(P(X \le 105) \approx 0{,}7340\) ;
  • \(P(90 \le X \le 110) \approx 0{,}7887\).

Par la variable centrée réduite (pour comprendre). On se ramène à la loi \(\mathcal{N}(0\,;\,1)\) en posant \(Z = \dfrac{X - m}{\sigma}\) : on mesure l'écart en nombre d'écarts types. Par exemple \(X = 105\) correspond à \(z = \dfrac{105 - 100}{8} = 0{,}625\), et \(P(X \le 105) = P(Z \le 0{,}625) \approx 0{,}7340\).

Retrouver un seuil

Question. Quel temps \(t\) n'est dépassé que dans 5 % des cas ? On cherche \(t\) tel que \(P(X \le t) = 0{,}95\). La calculatrice a une fonction de loi normale inverse. On trouve \(t \approx 113{,}16\) ms.

Vérification par le calcul. Pour 95 % à gauche, \(z \approx 1{,}645\), donc \(t = 100 + 1{,}645 \times 8 \approx 113{,}2\).

Exemple résolu. Le contrat impose que 95 % des réponses soient sous 115 ms. Est-il respecté ?

Voir la solution

Le temps dépassé dans seulement 5 % des cas est \(113{,}16\) ms, inférieur à 115 ms. Donc au moins 95 % des réponses sont sous 115 ms : le contrat est respecté, avec une marge d'environ 2 ms.

(Contrôle direct : \(P(X \le 115)\) correspond à \(z = \dfrac{15}{8} = 1{,}875\), soit environ \(0{,}970\), supérieur à \(0{,}95\).)

4. Choisir la bonne loi

Situation Loi Question à se poser
Nombre de succès sur \(n\) essais indépendants de probabilité \(p\) binomiale \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) combien d'essais ? quelle probabilité de succès ?
Nombre d'événements rares sur une période, moyenne \(\lambda\) Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) quel rythme moyen ?
Mesure continue autour d'une moyenne (temps, taille) normale \(\mathcal{N}(m\,;\,\sigma)\) quelle moyenne ? quel écart type ?
Durée avant une panne sans vieillissement exponentielle (module M5) quel taux de défaillance ?

5. À retenir

Note

  • Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\) : \(P(X = k) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^{k}}{k!}\), \(E = V = \lambda\) ; approche la binomiale si \(n\) grand et \(p\) petit.
  • Normale \(\mathcal{N}(m\,;\,\sigma)\) : cloche symétrique ; \(\approx 68\) % à \(\pm\sigma\), \(\approx 95\) % à \(\pm 2\sigma\) ; probabilités d'intervalles par la calculatrice.
  • Seuil à \(p\) % : fonction de loi normale inverse.
  • Choisir la loi avant de calculer, et interpréter en une phrase.

6. Teste-toi

Question 1. \(X \sim \mathcal{P}(3)\). Calculer \(P(X = 0)\).

Question 2. \(X \sim \mathcal{N}(50\,;\,10)\). Calculer \(P(X \le 60)\) et \(P(40 \le X \le 60)\).

Question 3. Un composant a une probabilité \(0{,}01\) d'être défectueux ; on en contrôle 300. Quelle loi approchée utiliser pour le nombre de défectueux ? Quel est son paramètre ?

Voir les réponses
  1. \(P(X = 0) = e^{-3} \approx 0{,}0498\) (environ 5 %).
  2. \(60 = m + \sigma\), donc \(P(X \le 60) = P(Z \le 1) \approx 0{,}8413\). L'intervalle \([40\,;\,60] = [m - \sigma\,;\,m + \sigma]\) donne environ \(0{,}6827\) (la règle des 68 %).
  3. La loi exacte est \(\mathcal{B}(300\,;\,0{,}01)\) (\(n\) grand, \(p\) petit), qu'on approche par \(\mathcal{P}(\lambda)\) avec \(\lambda = 300 \times 0{,}01 = 3\).

Pour continuer : le cours 3 sur les probabilités conditionnelles.