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Cours 1 – Résumer une série : position et dispersion

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M3, première partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : calculer et interpréter la moyenne, la médiane, les quartiles, l'étendue, la variance et l'écart type ; traiter une série groupée en classes ; choisir un indicateur adapté et repérer une valeur aberrante.

Prérequis. Calculs de moyennes, racines carrées ; le cours 1 de M1 pour les notations.

1. Pour démarrer : douze mesures, comment les résumer ?

On relève, en millisecondes, le temps de réponse d'un service sur douze requêtes :

\[ 12,\ 15,\ 15,\ 16,\ 18,\ 20,\ 21,\ 21,\ 22,\ 25,\ 27,\ 40. \]

Douze nombres sont difficiles à comparer à ceux d'un autre jour. On veut résumer la série par quelques nombres qui répondent à deux questions :

  • Autour de quelle valeur les temps se situent-ils ? (position)
  • À quel point s'écartent-ils les uns des autres ? (dispersion)

Les deux sont indispensables : deux services peuvent avoir le même temps moyen, mais l'un très régulier et l'autre très irrégulier.

2. La position : autour de quelle valeur ?

La moyenne

\[ \bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}. \]

Ici, la somme vaut 252 et \(n = 12\) : \(\bar{x} = \dfrac{252}{12} = 21\) ms. La moyenne est le « centre de gravité » de la série.

La médiane

La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

  • Si \(n\) est impair, c'est la valeur du milieu.
  • Si \(n\) est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Ici \(n = 12\) : les valeurs centrales sont les 6e et 7e (20 et 21) et la médiane est \(\dfrac{20 + 21}{2} = 20{,}5\) ms.

Les quartiles

Les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) découpent la série en quatre groupes de même effectif.

Warning

Plusieurs conventions existent pour calculer les quartiles, et les calculatrices ne donnent pas toutes la même. Dans ce cours : \(Q_1\) est la médiane de la moitié inférieure et \(Q_3\) la médiane de la moitié supérieure. Précise toujours la convention que tu utilises.

Moitié inférieure : 12, 15, 15, 16, 18, 20, donc \(Q_1 = \dfrac{15 + 16}{2} = 15{,}5\). Moitié supérieure : 21, 21, 22, 25, 27, 40, donc \(Q_3 = \dfrac{22 + 25}{2} = 23{,}5\).

Lecture. Un quart des temps sont inférieurs à 15,5 ms, un quart sont supérieurs à 23,5 ms, et la moitié « centrale » est entre 15,5 et 23,5 ms.

3. La dispersion : à quel point les valeurs s'écartent-elles ?

  • L'étendue est la différence entre le plus grand et le plus petit : \(40 - 12 = 28\) ms.
  • L'écart interquartile est \(Q_3 - Q_1 = 23{,}5 - 15{,}5 = 8\) ms : il décrit la dispersion de la moitié centrale.

  • L'écart type mesure l'écart « typique » à la moyenne. On le construit en trois temps :

  • on calcule la variance \(V\), la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : \(V = \dfrac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2\) ;

  • on en prend la racine carrée : \(\sigma = \sqrt{V}\) ;
  • on obtient un nombre dans la même unité que les données.

Pour notre série, \(V \approx 50{,}17\) et \(\sigma \approx 7{,}08\) ms. (On utilise la calculatrice ou Python pour ce calcul ; il est détaillé plus loin.)

Tip

Pourquoi des carrés ? Si on additionnait les écarts \(x_i - \bar{x}\) sans carré, les écarts positifs et négatifs s'annuleraient (leur somme est toujours nulle). Le carré les rend tous positifs.

Formule pratique. La variance vaut aussi \(V = \overline{x^2} - \bar{x}^2\) : la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. Elle est plus rapide à la calculatrice.

Warning

Deux écarts types. Les calculatrices affichent \(\sigma_x\) (division par \(n\), utilisé ici) et \(s_x\) (division par \(n-1\), « écart type d'échantillon », qui donne ici \(7{,}40\)). Ne confonds pas : dans ce parcours, c'est \(\sigma_x\).

4. La boîte à moustaches : tout voir d'un coup

10 15 20 25 30 35 40 min 12Q₁ 15,5médiane 20,5Q₃ 23,5max 40temps de réponse (ms)moyenne 21
Boîte à moustaches de la série : la boîte va de Q₁ à Q₃, la barre est la médiane, le losange la moyenne, les moustaches vont du minimum au maximum.

Cette représentation résume les cinq nombres clés (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum) et la moyenne. Elle permet de comparer rapidement deux séries. Ici, la moustache de droite est beaucoup plus longue que celle de gauche : la valeur 40 « tire » la série vers le haut.

5. Valeurs aberrantes : moyenne ou médiane ?

La valeur 40 ms est nettement plus grande que les autres. Que se passe-t-il si on la retire ?

Avec 40 Sans 40
Moyenne 21 ms \(\dfrac{212}{11} \approx 19{,}27\) ms
Médiane 20,5 ms 20 ms

La moyenne baisse de près de 2 ms, la médiane de 0,5 ms seulement. La médiane est robuste : elle réagit peu aux valeurs extrêmes. La moyenne est sensible à ces valeurs.

Règle pratique.

  • Série sans valeur extrême et symétrique : la moyenne et l'écart type conviennent.
  • Série avec valeurs extrêmes ou très dissymétrique (salaires, temps de réponse d'un réseau) : on préfère la médiane et les quartiles.

6. Séries groupées en classes

Quand les valeurs sont regroupées en classes, on ne connaît plus chaque valeur : on remplace chaque classe par son centre et on pondère par l'effectif.

Exemple. Durées de 40 sessions (en minutes) :

Classe \([0\,;\,10[\) \([10\,;\,20[\) \([20\,;\,30[\) \([30\,;\,40[\)
Effectif 4 10 18 8
Centre 5 15 25 35

Moyenne. \(\bar{x} = \dfrac{4 \times 5 + 10 \times 15 + 18 \times 25 + 8 \times 35}{40} = \dfrac{900}{40} = 22{,}5\) min.

Variance. \(V = \dfrac{4(5 - 22{,}5)^2 + 10(15 - 22{,}5)^2 + 18(25 - 22{,}5)^2 + 8(35 - 22{,}5)^2}{40} = 78{,}75\), donc \(\sigma \approx 8{,}87\) min.

Classe médiane. Les effectifs cumulés sont 4, 14, 32, 40. Les 20e et 21e valeurs (centrales) sont dans la classe \([20\,;\,30[\) : c'est la classe médiane.

Tip

Les résultats d'une série en classes sont des approximations : on a perdu l'information sur la position exacte dans chaque classe.

7. Calculer avec Python

from statistics import mean, median, pstdev

temps = [12, 15, 15, 16, 18, 20, 21, 21, 22, 25, 27, 40]
print(mean(temps))      # 21
print(median(temps))    # 20.5
print(pstdev(temps))    # 7.08... (division par n)

La fonction pstdev donne l'écart type de population (division par \(n\)), celui du cours.

8. Effet d'un changement d'unité

Si on transforme chaque valeur par \(y = ax + b\) (changement d'unité, ajout d'un délai fixe) :

  • la moyenne devient \(\bar{y} = a\bar{x} + b\) ;
  • l'écart type devient \(\sigma_y = |a|\,\sigma_x\) : le décalage \(b\) ne change pas la dispersion.

Exemple. Temps en secondes (moyenne 21, écart type 7,08) convertis en millisecondes (\(a = 1000\)) avec un délai fixe de 50 ms (\(b = 50\)) : moyenne \(21 \times 1000 + 50 = 21\,050\) ms ; écart type \(7\,080\) ms.

9. À retenir

Note

  • Position : moyenne (sensible aux valeurs extrêmes), médiane (robuste), quartiles.
  • Dispersion : étendue, écart interquartile, variance et écart type (même unité que les données).
  • Série en classes : centres de classe pondérés par les effectifs, résultats approchés.
  • Valeurs aberrantes : préférer la médiane.
  • \(y = ax + b\) : \(\bar{y} = a\bar{x} + b\) et \(\sigma_y = |a|\,\sigma_x\).

10. Teste-toi

Question 1. Série : 4, 8, 6, 10, 12. Donner la moyenne, la médiane et l'étendue.

Question 2. Deux services ont une moyenne de 100 ms. L'écart type est de 5 ms pour A et de 30 ms pour B. Lequel est le plus régulier ?

Voir les réponses
  1. Moyenne \(\dfrac{4 + 8 + 6 + 10 + 12}{5} = 8\). Série ordonnée : 4, 6, 8, 10, 12 ; la médiane est la valeur du milieu, 8. Étendue : \(12 - 4 = 8\).
  2. Le service A : son écart type est plus petit, donc ses temps sont plus proches de la moyenne.

Pour continuer : le cours 2 sur le lien entre deux grandeurs.