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Cours 2 – Systèmes en série, en parallèle et disponibilité

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M5, seconde partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : calculer la fiabilité d'un système de composants en série, en parallèle et mixte ; comprendre l'intérêt de la redondance ; calculer une disponibilité à partir de la MTBF et de la durée de réparation ; relier un taux de disponibilité à un temps d'arrêt annuel (SLA).

Prérequis. Le cours 1 et les événements indépendants. Les composants sont supposés indépendants.

Programme. Les montages en série et en parallèle sont des applications directes de l'indépendance (\(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\)) : ils relèvent du programme de probabilités. La disponibilité (section 6) est hors programme de l'unité UF2 : c'est une notion de culture professionnelle (contrats de service), utile en exploitation, qui ne sera pas exigée à l'épreuve facultative.

1. Pour démarrer : un service, plusieurs composants

Une application web dépend d'un serveur, d'une base de données, d'un lien réseau. Si l'un tombe, le service tombe. À l'inverse, deux serveurs identiques en secours peuvent maintenir le service si l'un d'eux tombe. La fiabilité du système dépend de la fiabilité de chaque composant et de la façon dont ils sont assemblés.

Série : il faut que tout marche A B R = RA × RB Parallèle : il suffit qu’un seul marche A B R = 1 − (1 − RA)(1 − RB)
Deux composants A et B montés en série (à gauche, tous deux nécessaires) ou en parallèle (redondance : un seul suffit).

2. Montage en série : il faut que tout marche

Le système fonctionne si et seulement si tous les composants fonctionnent. Comme les composants sont indépendants, on multiplie les fiabilités :

\[ R_{\text{série}} = R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n. \]

Conséquence. La fiabilité d'une chaîne est toujours inférieure à celle de son maillon le plus faible : chaque composant ajouté en série dégrade le système.

Exemple. Deux disques identiques, de fiabilité \(0{,}6065\) à 1 000 h, montés en série : \(R = 0{,}6065^2 = e^{-1} \approx 0{,}3679\).

Taux et MTBF. Pour \(n\) composants identiques de taux \(\lambda\) en série, le taux du système est \(n\lambda\) et sa MTBF vaut \(\dfrac{1}{n\lambda}\), soit la MTBF d'un composant divisée par \(n\).

3. Montage en parallèle : il suffit qu'un seul marche

C'est la redondance : le système tombe seulement si tous les composants tombent. On calcule donc la probabilité que tous soient en panne, puis on prend le contraire :

\[ R_{\text{parallèle}} = 1 - (1 - R_1)(1 - R_2)\cdots(1 - R_n). \]

Exemple. Deux disques en miroir, chacun de fiabilité \(0{,}6065\) à 1 000 h. Chacun tombe en panne avec la probabilité \(1 - 0{,}6065 = 0{,}3935\). Les deux tombent ensemble avec la probabilité \(0{,}3935^{2} \approx 0{,}1548\), donc \(R = 1 - 0{,}1548 \approx 0{,}8452\).

Comparaison. Un seul disque : 0,6065. Deux en série : 0,3679. Deux en parallèle : 0,8452. La redondance augmente la fiabilité de près de 24 points, la mise en série la réduit.

MTBF d'un montage parallèle de deux composants identiques. Elle vaut \(\dfrac{3}{2\lambda}\), soit 1,5 fois celle d'un composant (3 000 h pour 2 000 h). Redonder ne double pas la MTBF.

Warning

L'hypothèse d'indépendance est décisive. Deux serveurs branchés sur la même alimentation, ou hébergés dans la même baie, ne tombent pas en panne indépendamment : la formule parallèle devient fausse (trop optimiste). C'est pourquoi on sépare les alimentations, les baies et les sites.

4. Systèmes mixtes : on réduit étape par étape

Pour un montage qui mêle séries et parallèles :

  1. Repérer les blocs en parallèle ;
  2. remplacer chaque bloc parallèle par un composant équivalent (sa fiabilité) ;
  3. appliquer la formule série au résultat.

Exemple résolu. Un serveur A est en série avec un bloc de deux serveurs B et C en parallèle. Chaque serveur a une fiabilité de \(0{,}6065\) à 1 000 h. Calculer la fiabilité du système, puis dire quel composant dupliquer en priorité.

Voir la solution détaillée

Bloc \(\{B, C\}\). \(R_{BC} = 1 - (1 - 0{,}6065)^{2} \approx 0{,}8452\).

Système. A est en série avec ce bloc : \(R = 0{,}6065 \times 0{,}8452 \approx 0{,}5126\).

Où renforcer ? Le serveur A est le maillon faible : seul en série, il limite le système à \(0{,}6065\) au mieux. Le dupliquer donnerait un second bloc parallèle de fiabilité \(0{,}8452\), et un système à \(0{,}8452^2 \approx 0{,}7143\) : une amélioration de plus de 20 points.

Règle de bon sens. On redonde d'abord le composant le moins fiable ou qui n'a aucun secours (le point unique de défaillance).

5. Combien de redondances ?

Question. Chaque serveur a une fiabilité de \(0{,}6065\). Combien en mettre en parallèle pour que le bloc dépasse \(0{,}99\) ?

On veut \(1 - q^{n} \ge 0{,}99\), avec \(q = 1 - 0{,}6065 = 0{,}3935\) (probabilité de panne d'un serveur). Donc \(q^{n} \le 0{,}01\), et en prenant les logarithmes (le logarithme de \(q < 1\) est négatif, donc le sens change) :

\[ n \ge \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}3935} \approx 4{,}94. \]

Il faut 5 serveurs. Contrôle : \(n = 4\) donne \(1 - 0{,}3935^{4} \approx 0{,}976\) (insuffisant) ; \(n = 5\) donne \(\approx 0{,}9906\). On retrouve la méthode du seuil du module M1.

Cinq serveurs coûtent cher : au-delà d'un certain point, chaque serveur apporte de moins en moins, et l'indépendance des pannes devient décisive.

6. La disponibilité (hors programme de l'épreuve)

La fiabilité parle d'un composant non réparé. Un équipement réparable alterne marche et panne : on s'intéresse à la proportion du temps pendant laquelle il fonctionne, la disponibilité.

Avec la MTBF (durée moyenne de bon fonctionnement entre deux pannes) et le MTTR (Mean Time To Repair, durée moyenne de réparation) :

\[ A = \dfrac{\text{MTBF}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}}. \]

Exemple résolu. MTBF de 2 000 h, MTTR de 8 h. Disponibilité et arrêt annuel (une année compte 8 760 h) ?

Voir la solution

\(A = \dfrac{2000}{2000 + 8} = \dfrac{2000}{2008} \approx 0{,}9960\), soit \(99{,}60\) %.

Arrêt annuel : \(8760 \times (1 - 0{,}99602) \approx 34{,}9\) heures.

Contrat à 99,9 % ? Non : \(99{,}60\) % est inférieur. Un contrat à 99,9 % autorise environ 8,8 h d'arrêt par an. Pour y parvenir, on peut réduire le MTTR (maintenance plus rapide, pièces en stock) ou augmenter la MTBF (redondance).

Disponibilité et SLA : quelques repères.

Disponibilité Arrêt annuel toléré
99 % environ 87,6 h (3,65 jours)
99,9 % environ 8,8 h
99,99 % environ 53 min
99,999 % environ 5 min

Tip

Deux leviers. Pour gagner en disponibilité, on peut moins tomber en panne (MTBF plus grande, redondance) ou réparer plus vite (MTTR plus petit). Souvent, réduire le MTTR est le moins coûteux.

7. Calculer avec Python

from math import exp

r = exp(-1000 / 2000)                 # fiabilité d'un composant à 1000 h
serie = r * r
parallele = 1 - (1 - r) ** 2
mixte = r * (1 - (1 - r) ** 2)
print(round(serie, 4), round(parallele, 4), round(mixte, 4))  # 0.3679 0.8452 0.5126

8. À retenir

Note

  • Série : \(R = R_1 \times R_2 \times \dots\) ; chaque composant ajouté dégrade la fiabilité.
  • Parallèle : \(R = 1 - (1 - R_1)(1 - R_2)\cdots\) ; la redondance améliore la fiabilité (si les pannes sont indépendantes).
  • Système mixte : réduire les blocs parallèles, puis appliquer la formule série ; renforcer d'abord le maillon faible.
  • Disponibilité \(A = \dfrac{\text{MTBF}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}}\) ; arrêt annuel \(= 8760\,(1 - A)\).

9. Teste-toi

Question 1. Trois composants de fiabilité \(0{,}9\) sont montés en série. Quelle est la fiabilité du système ? Et si on les monte en parallèle ?

Question 2. Un équipement a une MTBF de 1 500 h et un MTTR de 6 h. Calculer sa disponibilité.

Voir les réponses
  1. Série : \(0{,}9^{3} = 0{,}729\). Parallèle : \(1 - (1 - 0{,}9)^{3} = 1 - 0{,}001 = 0{,}999\). Le même ensemble de composants peut donner 73 % ou 99,9 % selon le montage.
  2. \(A = \dfrac{1500}{1500 + 6} = \dfrac{1500}{1506} \approx 0{,}9960\), soit \(99{,}60\) %.

Pour continuer : les exercices du module, puis le sujet de 2 heures.