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Cours 4 – Loi uniforme, loi exponentielle et approximation normale

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M4, quatrième partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : utiliser la loi uniforme sur un intervalle ; situer la loi exponentielle parmi les lois continues ; approcher une loi binomiale par une loi normale, avec la correction de continuité, et juger si l'approximation est raisonnable.

Prérequis. Les cours 1 (loi binomiale) et 2 (loi normale), et l'intégrale (module M2).

1. Pour démarrer : une valeur « au hasard » dans un intervalle

Une sauvegarde démarre à un instant quelconque entre 0 et 30 minutes après minuit, sans moment privilégié. Quelle est la probabilité qu'elle démarre dans les 10 premières minutes ? Intuitivement : \(\dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\). La loi uniforme formalise cette intuition.

2. La loi uniforme sur \([a\,;\,b]\)

Une variable \(X\) suit la loi uniforme sur \([a\,;\,b]\) si sa densité vaut \(\dfrac{1}{b-a}\) sur cet intervalle (et 0 ailleurs). Pour \([c\,;\,d]\) inclus dans \([a\,;\,b]\) :

\[ P(c \le X \le d) = \int_{c}^{d} \dfrac{1}{b-a}\,dx = \dfrac{d - c}{b - a}. \]

La probabilité est proportionnelle à la longueur. De plus

\[ E(X) = \dfrac{a + b}{2}, \qquad V(X) = \dfrac{(b-a)^{2}}{12}. \]

Exemple résolu. Pour l'heure de démarrage \(X\) de la sauvegarde, uniforme sur \([0\,;\,30]\) : calculer \(P(X \le 10)\), \(P(12 \le X \le 18)\), \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).

Voir la solution

\(P(X \le 10) = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}\) ; \(P(12 \le X \le 18) = \dfrac{6}{30} = 0{,}2\) ; \(E(X) = 15\) min (le milieu) ; \(V(X) = \dfrac{900}{12} = 75\), donc \(\sigma(X) = \sqrt{75} \approx 8{,}66\) min.

Tip

Pour une loi continue, \(P(X = c) = 0\). Les inégalités larges ou strictes donnent donc la même probabilité : \(P(X \le 10) = P(X < 10)\). Ce n'est pas vrai pour une loi discrète (binomiale, Poisson).

3. La loi exponentielle

La durée de vie d'un composant sans usure, ou l'attente entre deux événements rares, se modélise par la loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) :

\[ P(X \le t) = 1 - e^{-\lambda t}, \qquad P(X > t) = e^{-\lambda t}, \qquad E(X) = \dfrac{1}{\lambda}, \qquad V(X) = \dfrac{1}{\lambda^{2}}. \]

Elle est étudiée en détail, avec ses applications à la fiabilité, dans le module M5.

4. Approcher une loi binomiale par une loi normale

Pour \(n\) grand, les calculs binomiaux sont lourds sans machine, et la forme du diagramme de \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) ressemble à une cloche. On l'approche par la loi normale de même espérance et de même écart type :

\[ X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) \quad \text{est approchée par} \quad Y \sim \mathcal{N}\big(np\,;\,\sqrt{np(1-p)}\big). \]

Conditions usuelles. \(n \ge 30\), \(np \ge 5\) et \(n(1-p) \ge 5\). L'énoncé les rappelle en général.

La correction de continuité. \(X\) ne prend que des valeurs entières ; \(Y\) prend toutes les valeurs. On associe à l'entier \(k\) l'intervalle \([k - 0{,}5\,;\,k + 0{,}5]\) :

Pour \(X\) (discrète) On calcule avec \(Y\) (continue)
\(P(X \le k)\) \(P(Y \le k + 0{,}5)\)
\(P(X \ge k)\) \(P(Y \ge k - 0{,}5)\)
\(P(X = k)\) \(P(k - 0{,}5 \le Y \le k + 0{,}5)\)

Exemple résolu. Sur 100 postes, chacun a la probabilité 0,4 d'avoir une mise à jour en attente, indépendamment des autres. \(X\) est le nombre de postes concernés. Approcher \(P(X \le 45)\) et \(P(X = 40)\).

Voir la solution

\(X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4)\) ; conditions : \(n = 100 \ge 30\), \(np = 40 \ge 5\), \(n(1-p) = 60 \ge 5\). On prend \(Y \sim \mathcal{N}(40\,;\,\sqrt{24})\), avec \(\sqrt{24} \approx 4{,}899\).

  • \(P(X \le 45) \approx P(Y \le 45{,}5) \approx 0{,}8692\). La valeur binomiale exacte est \(0{,}8689\) : l'écart est de \(0{,}0003\). Sans la correction, \(P(Y \le 45) \approx 0{,}8463\), nettement moins bon.
  • \(P(X = 40) \approx P(39{,}5 \le Y \le 40{,}5) \approx 0{,}0813\). Valeur exacte : \(0{,}0812\).
from scipy.stats import binom, norm
from math import sqrt
n, p = 100, 0.4
print(binom.cdf(45, n, p))                         # 0.8689 (exact)
print(norm.cdf(45.5, n * p, sqrt(n * p * (1 - p))))  # 0.8692 (approché)

(Sans scipy, la calculatrice donne les mêmes valeurs : voir l'aide-mémoire calculatrice.)

Note

Pourquoi apprendre l'approximation si la calculatrice donne la valeur exacte ? Parce qu'elle explique pourquoi tant de phénomènes de comptage ont une forme de cloche, et qu'elle donne un ordre de grandeur rapide : environ 95 % des valeurs de \(X\) sont entre \(np - 2\sigma\) et \(np + 2\sigma\), ici entre 30 et 50.

5. À retenir

Note

  • Loi uniforme sur \([a\,;\,b]\) : \(P(c \le X \le d) = \dfrac{d-c}{b-a}\) ; \(E = \dfrac{a+b}{2}\) ; \(V = \dfrac{(b-a)^{2}}{12}\).
  • Loi exponentielle : \(P(X > t) = e^{-\lambda t}\), \(E = \dfrac{1}{\lambda}\), \(V = \dfrac{1}{\lambda^{2}}\) (voir M5).
  • \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) est approchée par \(\mathcal{N}\big(np\,;\,\sqrt{np(1-p)}\big)\) si \(n \ge 30\), \(np \ge 5\), \(n(1-p) \ge 5\), avec la correction de continuité (\(\pm 0{,}5\)).

6. Teste-toi

Question 1. \(X\) suit la loi uniforme sur \([2\,;\,10]\). Calculer \(P(X \ge 8)\) et \(E(X)\).

Question 2. Peut-on approcher \(\mathcal{B}(40\,;\,0{,}05)\) par une loi normale ?

Question 3. Par quelle probabilité normale approche-t-on \(P(X \ge 50)\) pour \(X \sim \mathcal{B}(200\,;\,0{,}2)\) ?

Voir les réponses
  1. \(P(X \ge 8) = \dfrac{10 - 8}{10 - 2} = 0{,}25\) ; \(E(X) = 6\).
  2. Non : \(np = 2 < 5\). On utiliserait plutôt une loi de Poisson de paramètre 2 (cours 2).
  3. \(np = 40\), \(\sigma = \sqrt{32} \approx 5{,}657\) : \(P(X \ge 50) \approx P(Y \ge 49{,}5)\) avec \(Y \sim \mathcal{N}(40\,;\,5{,}657)\), soit environ \(0{,}0465\).

Pour continuer : les exercices du module.