Cours 1 – La dérivée et les variations
BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M2, première partie
Note
Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : expliquer ce que mesure la dérivée ; calculer la dérivée de fonctions simples ; étudier le signe de la dérivée pour dresser un tableau de variations ; trouver un extremum et l'interpréter dans un problème.
Prérequis. Le module M1 (fonctions, exponentielle, logarithme).
Programme. La dérivée comme interprétation cinématique (vitesse) n'est pas au programme : on la voit comme vitesse de variation d'une grandeur quelconque, et comme pente de la tangente.
1. Pour démarrer : à quelle vitesse la grandeur change-t-elle ?
Le stock d'un serveur de fichiers évolue au cours du temps. Entre deux dates, on peut calculer la variation moyenne :
C'est la pente de la droite qui joint les deux points de la courbe. Mais comment connaître la vitesse à un instant précis ? On resserre l'intervalle : \(b\) se rapproche de \(a\). La limite de ce taux, quand l'intervalle devient minuscule, est le nombre dérivé.
Exemple. Pour \(f(x) = x^2\) autour de \(a = 1\), on calcule le taux de variation entre \(1\) et \(1 + h\), pour des \(h\) de plus en plus petits :
| \(h\) | 1 | 0,1 | 0,01 |
|---|---|---|---|
| \(\dfrac{f(1+h) - f(1)}{h}\) | 3 | 2,1 | 2,01 |
Le taux se rapproche de 2 : on dit que le nombre dérivé de \(f\) en 1 vaut 2, et on écrit \(f'(1) = 2\).
2. Le nombre dérivé : la pente de la tangente
Géométriquement, \(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\). Sur la figure, la tangente en \(x = 1\) est la droite \(y = 2x - 1\) : quand \(x\) augmente de 1, elle monte de 2.
Équation de la tangente en \(a\). \(y = f'(a)\,(x - a) + f(a)\). Ici : \(y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1\).
Ce que dit le signe de \(f'(a)\).
- \(f'(a) > 0\) : la fonction monte près de \(a\) ;
- \(f'(a) < 0\) : la fonction descend près de \(a\) ;
- \(f'(a) = 0\) : tangente horizontale, c'est souvent la trace d'un maximum ou d'un minimum.
3. La fonction dérivée
Plutôt que de recalculer un nombre dérivé en chaque point, on définit la fonction dérivée \(f'\), qui donne la pente en tout point. Il suffit de connaître quelques dérivées usuelles et quelques règles.
Dérivées usuelles.
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^{n}\) | \(n\,x^{n-1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^{2}}\) |
| \(e^{x}\) | \(e^{x}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
Règles de calcul.
| Opération | Règle |
|---|---|
| Somme | \((u + v)' = u' + v'\) |
| Multiple d'une constante | \((k\,u)' = k\,u'\) |
| Produit | \((u\,v)' = u'\,v + u\,v'\) |
| Quotient | \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}\) |
| Exponentielle d'une fonction | \((e^{u})' = u'\,e^{u}\) |
Exemples résolus.
1. Dériver \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\)
On dérive terme à terme : \((3x^2)' = 3 \times 2x = 6x\), \((-4x)' = -4\), \((1)' = 0\). Donc \(f'(x) = 6x - 4\).
2. Dériver \(g(x) = x\,e^{x}\) (un produit)
Avec \(u = x\) et \(v = e^{x}\) : \(u' = 1\) et \(v' = e^{x}\). Donc \(g'(x) = 1 \times e^{x} + x \times e^{x} = (1 + x)e^{x}\).
3. Dériver \(h(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}\) (un quotient)
Avec \(u = 2x + 1\) (\(u' = 2\)) et \(v = x + 1\) (\(v' = 1\)) :
4. Dériver \(k(x) = e^{-0{,}5x}\) (composée)
Ici \(u = -0{,}5x\), donc \(u' = -0{,}5\) et \(k'(x) = -0{,}5\,e^{-0{,}5x}\).
Tip
La calculatrice formelle dérive à ta place, mais l'épreuve te demande souvent de justifier : sois capable de dériver à la main les cas ci-dessus. En revanche, il n'y a pas à retrouver une formule par lecture inverse du tableau.
4. Du signe de la dérivée aux variations
Le théorème à connaître. Sur un intervalle :
- si \(f'(x) > 0\) partout, alors \(f\) est croissante ;
- si \(f'(x) < 0\) partout, alors \(f\) est décroissante ;
- si \(f'(x) = 0\) partout, alors \(f\) est constante.
Méthode en 5 étapes pour dresser un tableau de variations.
- Calculer \(f'(x)\).
- Factoriser \(f'(x)\) pour pouvoir étudier son signe (produit de facteurs dont on connaît le signe).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) selon \(x\).
- En déduire le sens de variation de \(f\).
- Calculer les valeurs de \(f\) aux bornes et aux points où \(f'\) s'annule.
Exemple résolu. Étudier \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) sur \([0\,;\,5]\).
Voir la solution détaillée
Étape 1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\).
Étape 2 (factorisation). On met 3 en facteur : \(f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3)\). Le trinôme \(x^2 - 4x + 3\) a pour discriminant \(16 - 12 = 4\), donc deux racines : \(\dfrac{4 - 2}{2} = 1\) et \(\dfrac{4 + 2}{2} = 3\). Ainsi \(f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)\).
Étape 3 (signe). Le facteur 3 est positif. Pour \((x - 1)(x - 3)\) : positif si \(x < 1\) (les deux facteurs sont négatifs), négatif si \(1 < x < 3\) (un facteur négatif et un positif), positif si \(x > 3\).
Étapes 4 et 5 (tableau).
| \(x\) | 0 | 1 | 3 | 5 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| Variations de \(f\) | 1 | croît | 5 | décroît | 1 | croît | 21 |
Valeurs : \(f(0) = 1\) ; \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\) ; \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\) ; \(f(5) = 125 - 150 + 45 + 1 = 21\).
Lecture. La courbe monte de 1 à 5, descend jusqu'à 1, puis remonte jusqu'à 21. Le point \((1\,;\,5)\) est un maximum local, le point \((3\,;\,1)\) un minimum local. Sur tout l'intervalle \([0\,;\,5]\), le plus grand résultat est 21 (atteint au bord, en \(x = 5\)) et le plus petit est 1 (atteint en \(x = 0\) et en \(x = 3\)).
Warning
Piège. \(f'(x) = 0\) ne suffit pas pour affirmer qu'il y a un extremum : il faut que le signe de \(f'\) change de part et d'autre. Par exemple, pour \(f(x) = x^3\), \(f'(0) = 0\) mais \(f'\) reste positive des deux côtés : il n'y a ni maximum ni minimum en 0.
5. Optimiser : trouver le meilleur choix
Un extremum répond aux questions du type « pour quelle valeur le coût est-il minimal ? » ou « quand la charge est-elle maximale ? ». C'est l'une des applications les plus fréquentes.
Exemple résolu. Le coût moyen de production, en euros par unité, de \(q\) unités est \(CM(q) = q + \dfrac{100}{q}\) pour \(q > 0\). Pour quelle quantité est-il minimal ?
Voir la solution détaillée
Dérivée. \(CM'(q) = 1 - \dfrac{100}{q^{2}} = \dfrac{q^{2} - 100}{q^{2}}\).
Signe. Pour \(q > 0\), le dénominateur \(q^2\) est positif : le signe est celui de \(q^2 - 100\), négatif pour \(q < 10\), positif pour \(q > 10\).
Variations. \(CM\) décroît jusqu'à \(q = 10\), puis croît. Le minimum est donc en \(q = 10\), de valeur \(CM(10) = 10 + 10 = 20\) euros par unité.
Contrôle. \(CM(5) = 25\) et \(CM(20) = 25\), tous deux supérieurs à 20 : le minimum est confirmé.
Interprétation. Produire 10 unités minimise le coût moyen, à 20 € l'unité. Au-delà, le coût moyen remonte (par exemple à 25 € pour 20 unités), car les coûts qui grandissent avec la quantité l'emportent sur la répartition des frais fixes.
6. À retenir
Note
- \(f'(a)\) est la pente de la tangente en \(a\) et mesure la vitesse de variation instantanée.
- Dérivées usuelles : \((x^{n})' = nx^{n-1}\), \((e^{x})' = e^{x}\), \((\ln x)' = \dfrac{1}{x}\) ; règles de la somme, du produit, du quotient, de \((e^{u})'\).
- \(f' > 0\) : \(f\) croît ; \(f' < 0\) : \(f\) décroît.
- Méthode du tableau : dériver, factoriser, signe, variations, valeurs.
- Un extremum demande que \(f'\) s'annule en changeant de signe.
- Toujours interpréter le résultat dans le contexte (unité, valeur acceptable).
7. Teste-toi
Question 1. Dériver \(f(x) = 5x^2 - 3x + 2\) et \(g(x) = x^2 e^{x}\).
Question 2. Étudier les variations de \(f(x) = x^2 - 4x\) et donner son minimum.
Question 3. Pour \(f(x) = x^2\), écrire l'équation de la tangente en \(x = 3\).
Voir les réponses
- \(f'(x) = 10x - 3\). Pour \(g\), produit de \(u = x^2\) (\(u' = 2x\)) et \(v = e^{x}\) : \(g'(x) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x} = (2x + x^2)e^{x}\).
- \(f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)\), négatif pour \(x < 2\), positif pour \(x > 2\) : \(f\) décroît puis croît, avec un minimum en \(x = 2\) valant \(f(2) = 4 - 8 = -4\).
- \(f'(3) = 6\) et \(f(3) = 9\), donc \(y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9\).
Pour continuer : le cours 2 sur les limites et les asymptotes.