Cours 2 – Limites et asymptotes
BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M2, deuxième partie
Note
Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : expliquer ce qu'est une limite en \(+\infty\) ; connaître les limites usuelles ; reconnaître une asymptote horizontale ; interpréter une limite comme un régime stable (saturation, retour à zéro).
Programme. Les calculs de limite restent élémentaires : on s'appuie sur les limites usuelles, sur des tableaux de valeurs et sur la calculatrice formelle. L'étude de la continuité est hors programme.
1. Pour démarrer : que se passe-t-il à long terme ?
Un service doit traiter des requêtes. Après un incident, la charge supplémentaire est \(f(x) = (x + 2)e^{-x}\) (en milliers de requêtes par minute), \(x\) heures après l'incident. Que devient la charge à long terme ?
On calcule à la calculatrice :
| \(x\) (heures) | 0 | 1 | 5 | 10 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 2 | 1,10 | 0,047 | 0,00054 | 0,00000005 |
Les valeurs deviennent de plus en plus proches de 0 : on dit que \(f(x)\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers \(+\infty\), et on écrit \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0\).
2. Qu'est-ce qu'une limite ?
Idée. Dire que \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) signifie : quand \(x\) devient de plus en plus grand, \(f(x)\) devient aussi proche qu'on veut du nombre \(\ell\) (sans forcément jamais l'atteindre).
On peut aussi avoir \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) : la fonction grandit sans borne.
Limites usuelles à connaître (quand \(x \to +\infty\)) :
| Fonction | Limite |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(0\) |
| \(x^{2}\) | \(+\infty\) |
| \(e^{x}\) | \(+\infty\) |
| \(e^{-x}\) | \(0\) |
| \(\ln x\) | \(+\infty\) (très lentement) |
| \(x\,e^{-x}\) | \(0\) |
Pourquoi \(x\,e^{-x} \to 0\) ? Le facteur \(x\) grandit, le facteur \(e^{-x}\) s'écrase vers 0, et c'est l'exponentielle qui gagne : elle décroît beaucoup plus vite que \(x\) ne croît. Vérifions sur des valeurs : \(1 \times e^{-1} \approx 0{,}368\), \(5e^{-5} \approx 0{,}034\), \(10e^{-10} \approx 0{,}00045\). C'est la règle de la croissance comparée : \(e^{x}\) l'emporte sur toute puissance de \(x\), et toute puissance de \(x\) l'emporte sur \(\ln x\).
Tip
Comment trouver une limite. (1) Reconnaître une limite usuelle ; (2) sinon, remplir un tableau de valeurs avec de grandes valeurs de \(x\) ; (3) vérifier à la calculatrice formelle. Les opérations simples fonctionnent : la limite d'une somme est la somme des limites, celle d'un produit est le produit des limites (quand ça a un sens).
3. L'asymptote horizontale
Définition. Si \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\), la droite \(y = \ell\) est une asymptote horizontale à la courbe : la courbe s'en rapproche indéfiniment.
Exemple résolu. Étudier \(g(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}\) pour \(x \ge 0\).
Voir la solution détaillée
Valeurs. \(g(0) = 1\) ; \(g(1) = 1{,}5\) ; \(g(10) \approx 1{,}909\) ; \(g(100) \approx 1{,}990\) ; \(g(1000) \approx 1{,}999\). Les valeurs approchent 2 par en dessous.
Limite, par le calcul. On met \(x\) en facteur en haut et en bas : \(g(x) = \dfrac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \dfrac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}\). Quand \(x \to +\infty\), \(\dfrac{1}{x} \to 0\), donc \(g(x) \to \dfrac{2}{1} = 2\).
Variations. On a vu (cours 1) que \(g'(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2} > 0\) : \(g\) est croissante, de \(g(0) = 1\) vers 2.
Conclusion. La droite \(y = 2\) est une asymptote horizontale, et \(g\) ne l'atteint jamais : elle prend toutes les valeurs de \([1\,;\,2[\).
4. Interpréter une limite : le régime stable
Dans un problème, la limite décrit ce qui se passe à long terme. C'est souvent la question « que devient la grandeur ? » à laquelle il faut répondre par une phrase.
| Situation | Limite | Interprétation |
|---|---|---|
| Charge après un incident, \((x+2)e^{-x}\) | \(0\) | l'incident se résorbe, la charge revient à la normale |
| Remplissage d'un disque, \(100(1 - e^{-0{,}5t})\) | \(100\) | saturation : le disque se remplit à 100 %, sans le dépasser |
| Trafic, \(2x + 1\) | \(+\infty\) | croissance sans limite : il faudra augmenter les capacités |
Exemple résolu : un remplissage qui sature. Le taux de remplissage d'un volume (en %) est \(R(t) = 100\left(1 - e^{-0{,}5t}\right)\), avec \(t\) en heures. Calculer \(R(2)\), \(R(6)\) et la limite en \(+\infty\). Interpréter.
Voir la solution
\(R(2) = 100(1 - e^{-1}) \approx 63{,}2\) % ; \(R(6) = 100(1 - e^{-3}) \approx 95{,}0\) %.
Quand \(t \to +\infty\), \(e^{-0{,}5t} \to 0\), donc \(R(t) \to 100\). La droite \(y = 100\) est asymptote.
Interprétation. Le volume se remplit vite au début (63 % en 2 heures), puis de plus en plus lentement ; il approche 100 % sans jamais le dépasser : c'est un régime de saturation. Au bout de 6 heures, il reste environ 5 % à remplir.
5. Explorer avec Python
On peut « sentir » une limite avec quelques lignes :
Les valeurs affichées décroissent vers 0 : c'est ce qu'on a vu dans le tableau. Cette exploration ne remplace pas une justification (on invoque une limite usuelle), mais elle évite une erreur grossière.
6. À retenir
Note
- \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) : \(f(x)\) s'approche de \(\ell\) quand \(x\) devient très grand.
- Limites usuelles : \(\dfrac{1}{x} \to 0\), \(e^{-x} \to 0\), \(e^{x} \to +\infty\), \(\ln x \to +\infty\), \(x\,e^{-x} \to 0\).
- Une limite finie \(\ell\) donne l'asymptote horizontale \(y = \ell\).
- Interpréter : la limite décrit le régime stable (retour à zéro, saturation, croissance sans borne).
7. Teste-toi
Question 1. Donner la limite en \(+\infty\) de \(5 + \dfrac{3}{x}\), de \(4e^{-2x}\) et de \(\ln x\).
Question 2. La charge d'un serveur est \(c(t) = 80 - 60e^{-t}\) (en %). Donner \(c(0)\), la limite en \(+\infty\) et interpréter.
Voir les réponses
- \(5 + \dfrac{3}{x} \to 5\) ; \(4e^{-2x} \to 0\) ; \(\ln x \to +\infty\).
- \(c(0) = 80 - 60 = 20\) %. Comme \(e^{-t} \to 0\), \(c(t) \to 80\) : la charge augmente de 20 % vers un plafond de 80 % et se stabilise à ce niveau (asymptote \(y = 80\)).
Pour continuer : le cours 3 sur les primitives et l'intégrale.