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Cours 5 – Primitives, aires et méthodes numériques

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M2, cinquième partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : trouver une primitive de la forme \(u'u^{n}\), \(\dfrac{u'}{u}\) ou \(u'e^{u}\) en reconnaissant la dérivée d'une composée ; calculer l'aire entre deux courbes ; approcher une intégrale par les méthodes des rectangles, du point milieu et des trapèzes, et par une simulation (Monte-Carlo).

Prérequis. Les cours 3 (primitives, intégrale) et 4 (dérivées de composées).

1. Pour démarrer : retrouver la fonction de départ

Le cours 4 a appris à dériver \((u^{n})'\), \((\ln u)'\), \((e^{u})'\). Lues à l'envers, ces règles donnent des primitives. Exemple : on sait que \((e^{x^{2}})' = 2x\,e^{x^{2}}\). Donc une primitive de \(2x\,e^{x^{2}}\) est \(e^{x^{2}}\).

2. Les trois formes à reconnaître

La fonction a la forme Une primitive est Condition
\(u'\,u^{n}\) \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) \(n \ne -1\)
\(\dfrac{u'}{u}\) \(\ln u\) \(u > 0\)
\(u'\,e^{u}\) \(e^{u}\)

Méthode. (1) Repérer l'intérieur \(u\). (2) Calculer \(u'\). (3) Voir s'il apparaît dans la fonction, à une constante près (on la corrige en multipliant par son inverse). (4) Contrôler en dérivant.

Exemples résolus.

  1. Primitive de \(f(x) = x\,e^{x^{2}}\).
  2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx\).
  3. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} 2x\,(x^{2}+1)^{2}\,dx\).
Voir les solutions
  1. \(u = x^{2}\), \(u' = 2x\). Il manque un facteur 2 : \(x\,e^{x^{2}} = \dfrac{1}{2}\,u'\,e^{u}\). Primitive : \(F(x) = \dfrac{1}{2}\,e^{x^{2}}\). Contrôle : \(F'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^{2}} = x\,e^{x^{2}}\). ✔
  2. \(u = x^{2} + 1 > 0\), \(u' = 2x\) : c'est \(\dfrac{u'}{u}\). Intégrale : \(\big[\ln(x^{2}+1)\big]_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0{,}693\).
  3. \(u = x^{2} + 1\), \(u' = 2x\), \(n = 2\) : primitive \(\dfrac{(x^{2}+1)^{3}}{3}\). Intégrale : \(\dfrac{2^{3}}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}333\).

Warning

Limite du programme. On ne cherche pas de primitive par intégration par parties, ni pour les fonctions \(\cos(\omega t + \varphi)\) et \(\sin(\omega t + \varphi)\) : ces points sont exclus du programme de l'unité. Quand aucune forme ne se reconnaît, l'énoncé donne la primitive, ou on utilise la calculatrice formelle ou une méthode numérique (section 4).

3. Aire entre deux courbes

Si \(f \ge g\) sur \([a\,;\,b]\), l'aire entre les deux courbes vaut

\[ \int_{a}^{b} \big(f(x) - g(x)\big)\,dx. \]

Exemple résolu. Le débit entrant d'un lien vaut \(a(t) = t + 2\) et le débit sortant \(b(t) = t^{2}\) (en Go par heure), pour \(t\) entre 0 et 2. Quelle quantité s'accumule entre 0 et 2 heures ?

Voir la solution

On vérifie d'abord que \(a \ge b\) sur \([0\,;\,2]\) : \(t + 2 - t^{2} = (2 - t)(t + 1) \ge 0\). On intègre la différence :

\[ \int_{0}^{2} (t + 2 - t^{2})\,dt = \left[\dfrac{t^{2}}{2} + 2t - \dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 2 + 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3} \approx 3{,}33. \]

Il s'accumule environ 3,33 Go dans la file entre 0 et 2 heures.

4. Approcher une intégrale

Certaines fonctions, comme \(e^{-x^{2}}\), n'ont aucune primitive qu'on sache écrire avec les fonctions usuelles. On approche alors l'intégrale. On découpe \([a\,;\,b]\) en \(n\) parts de largeur \(h = \dfrac{b-a}{n}\) et on pose \(x_i = a + ih\).

Méthode Formule Idée
Rectangles (à gauche) \(h\,\big(f(x_0) + \dots + f(x_{n-1})\big)\) rectangle dont la hauteur est la valeur à gauche
Point milieu \(h\,\big(f(m_0) + \dots + f(m_{n-1})\big)\), \(m_i\) milieu de \([x_i ; x_{i+1}]\) hauteur au milieu
Trapèzes \(h\left(\dfrac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1}) + \dfrac{f(x_n)}{2}\right)\) on joint les points par des segments

Exemple. Approcher \(I = \displaystyle\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx\) avec \(n = 4\) (donc \(h = 0{,}25\)) :

Méthode Résultat
Trapèzes 0,7430
Point milieu 0,7487

Avec \(n = 100\), les deux méthodes donnent 0,7468 (trapèzes 0,74682, milieu 0,74683). La valeur de référence est \(I \approx 0{,}7468\). Diviser la largeur par 25 a fait gagner environ 2 chiffres : on dit que ces méthodes convergent quand \(n\) augmente.

from math import exp

def trapezes(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2 + sum(f(a + i * h) for i in range(1, n))
    return h * s

def milieu(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * sum(f(a + (i + 0.5) * h) for i in range(n))

f = lambda x: exp(-x * x)
print(trapezes(f, 0, 1, 4))     # 0.7429840978003812
print(milieu(f, 0, 1, 4))       # 0.7487471318910093

Méthode de Monte-Carlo. Comme \(f\) est comprise entre 0 et 1 sur \([0\,;\,1]\), on tire au hasard \(N\) nombres \(x\) dans \([0\,;\,1]\) et on calcule la moyenne des \(f(x)\) : c'est une estimation de la valeur moyenne, donc de l'intégrale (la largeur vaut 1).

import random
random.seed(0)
N = 1000
print(sum(f(random.random()) for _ in range(N)) / N)   # 0.7485 avec cette graine

Le résultat change d'une exécution à l'autre (sans la graine) et converge lentement : il faut environ 100 fois plus de tirages pour gagner 1 chiffre. En contrepartie, la méthode se généralise facilement à des problèmes compliqués.

5. À retenir

Note

  • Primitives à reconnaître : \(u'u^{n} \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) ; \(\dfrac{u'}{u} \to \ln u\) ; \(u'e^{u} \to e^{u}\). On corrige une constante manquante et on contrôle en dérivant.
  • Hors programme : intégration par parties ; primitives de \(\cos(\omega t + \varphi)\) et \(\sin(\omega t + \varphi)\).
  • Aire entre deux courbes : \(\displaystyle\int_{a}^{b} (f - g)\) avec \(f \ge g\).
  • Intégrale approchée : rectangles, point milieu, trapèzes (plus \(n\) est grand, plus c'est précis) ; Monte-Carlo : moyenne de valeurs tirées au hasard.

6. Teste-toi

Question 1. Une primitive de \(3x^{2}\,e^{x^{3}}\) ?

Question 2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{3x^{2}}{x^{3} + 1}\,dx\).

Question 3. Quelle méthode utiliser pour \(\displaystyle\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx\), et pourquoi ?

Voir les réponses
  1. \(u = x^{3}\), \(u' = 3x^{2}\) : primitive \(e^{x^{3}}\).
  2. \(u = x^{3} + 1\), \(u' = 3x^{2}\) : \(\big[\ln(x^{3} + 1)\big]_{0}^{1} = \ln 2 \approx 0{,}693\).
  3. Une méthode numérique (trapèzes, point milieu ou Monte-Carlo), car la fonction n'a pas de primitive écrite avec les fonctions usuelles.

Pour continuer : les exercices du module.