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Exercices – Fiabilité

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M5

Note

Trois niveaux : socle, format épreuve, pour aller plus loin. Les valeurs sont données à \(10^{-4}\) près. Les composants sont indépendants.

Niveau 1 – Socle

Exercice 1 – Un disque dur

La durée de vie \(T\) d'un disque suit une loi exponentielle de MTBF \(2\,000\) h, donc \(\lambda = \dfrac{1}{2000} = 0{,}0005\) h\(^{-1}\).

  1. Calculer la probabilité qu'il fonctionne encore à 1 000 h.
  2. Calculer la probabilité qu'il tombe en panne avant 500 h.
  3. Calculer la durée médiane de fonctionnement.
Voir la réponse
  1. \(R(1000) = e^{-0{,}0005 \times 1000} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\).
  2. \(P(T \le 500) = 1 - e^{-0{,}25} \approx 0{,}2212\).
  3. \(t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = 2000 \ln 2 \approx 1\,386\) h. La médiane est inférieure à la MTBF (2 000 h) : la moitié des disques tombe en panne avant 1 386 h.

Exercice 2 – Sans mémoire

Avec le disque de l'exercice 1, quelle est la probabilité qu'il dure au moins 1 500 h de plus, sachant qu'il a déjà fonctionné 500 h ? Comparer avec la probabilité qu'un disque neuf dure 1 000 h. Que dit ce résultat ?

Voir la réponse

Propriété sans mémoire : \(P(T > 1500 \mid T > 500) = P(T > 1000) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\).

Calcul direct : \(\dfrac{R(1500)}{R(500)} = \dfrac{e^{-0{,}75}}{e^{-0{,}25}} = e^{-0{,}5}\). La loi exponentielle ne tient pas compte de l'âge : le modèle suppose qu'il n'y a pas de vieillissement. C'est une hypothèse à discuter pour un disque réel.

Niveau 2 – Format épreuve

Exercice 3 – Série et parallèle

On installe deux disques identiques de l'exercice 1. À \(t = 1000\) h, la fiabilité de chacun est \(0{,}6065\).

  1. Calculer la fiabilité si les deux sont montés en série (le service tombe si l'un tombe).
  2. La calculer s'ils sont montés en parallèle (miroir).
  3. Quelle est la MTBF en série ? en parallèle ?
  4. Commenter.
Voir la réponse
  1. Série : \(R = 0{,}6065^{2} = e^{-1} \approx 0{,}3679\).
  2. Parallèle : \(R = 1 - (1 - 0{,}6065)^{2} \approx 0{,}8452\).
  3. En série, le taux vaut \(2\lambda\) : MTBF \(= \dfrac{2000}{2} = 1\,000\) h. En parallèle : MTBF \(= \dfrac{3}{2\lambda} = 3\,000\) h.
  4. Passer d'un disque seul (\(0{,}6065\)) à un miroir fait gagner environ 24 points de fiabilité à 1 000 h, alors que le montage en série la fait perdre. La redondance augmente la fiabilité, les dépendances en série la diminuent.

Exercice 4 – Système mixte

Une application dépend d'un serveur A en série avec un bloc de deux serveurs B et C en parallèle. À 1 000 h, chaque serveur a une fiabilité de \(0{,}6065\).

  1. Calculer la fiabilité du bloc \(\{B, C\}\).
  2. En déduire la fiabilité du système.
  3. Quel serveur faudrait-il dupliquer en priorité pour améliorer le système ?
Voir la réponse
  1. Bloc parallèle : \(1 - (1 - 0{,}6065)^2 \approx 0{,}8452\).
  2. Série : \(R = 0{,}6065 \times 0{,}8452 \approx 0{,}5126\).
  3. Le serveur A est le maillon faible : il est seul en série et limite le système à \(0{,}6065\) au mieux. Le dupliquer donnerait un second bloc parallèle (\(0{,}8452\)) et un système à \(0{,}8452^2 \approx 0{,}7143\).

Exercice 5 – Disponibilité (hors programme de l'épreuve)

Un équipement a une MTBF de \(2\,000\) h et un MTTR de \(8\) h.

  1. Calculer sa disponibilité.
  2. En déduire le temps d'arrêt annuel (8 760 h).
  3. Le contrat exige 99,9 % : est-il respecté ?
Voir la réponse
  1. \(A = \dfrac{2000}{2000 + 8} = \dfrac{2000}{2008} \approx 0{,}9960\), soit \(99{,}60\) %.
  2. Arrêt annuel : \(8760 \times (1 - 0{,}99602) \approx 34{,}9\) h.
  3. Non : \(99{,}60\) % \(< 99{,}9\) %. Le contrat autorise environ \(8{,}8\) h d'arrêt par an. Il faut réduire le MTTR (maintenance plus rapide) ou augmenter la MTBF (redondance).

Niveau 3 – Pour aller plus loin

Exercice 6 – Combien de redondances ?

Chaque serveur a une fiabilité de \(0{,}6065\) à 1 000 h. Combien de serveurs en parallèle faut-il pour que la fiabilité du bloc dépasse \(0{,}99\) ? Proposer une fonction Python qui renvoie ce nombre.

Voir la réponse

On veut \(1 - q^{n} \ge 0{,}99\) avec \(q = 1 - 0{,}6065 = 0{,}3935\), soit \(q^{n} \le 0{,}01\), donc \(n \ge \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}3935} \approx 4{,}94\). Il faut 5 serveurs.

Contrôle : \(n = 4\) donne \(1 - 0{,}3935^{4} \approx 0{,}976\) (insuffisant) ; \(n = 5\) donne \(\approx 0{,}9906\).

def nb_serveurs(r, objectif):
    q = 1 - r          # probabilité de panne d'un serveur
    n = 1
    while 1 - q ** n < objectif:
        n += 1
    return n

print(nb_serveurs(0.6065, 0.99))   # 5

Remarque : cinq serveurs coûtent cher ; au-delà d'un certain nombre, le gain devient marginal, et l'hypothèse d'indépendance des pannes devient décisive.