Sujet – Option mathématiques approfondies (2 heures, 20 points)

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – sujet d'entraînement de l'auteur, non officiel

Note

Conditions. Compose ce sujet sans aide et chronométré (2 heures). Calculatrice formelle autorisée. Les trois exercices sont indépendants. Chaque résultat est justifié et commenté (unité, sens). Le corrigé et le barème sont dans les blocs « Voir le corrigé ».

Répartition indicative : exercice 1 (analyse) 7 points, exercice 2 (statistique) 6 points, exercice 3 (probabilités et fiabilité) 7 points.

Exercice 1 – La charge d'un service après une mise à jour (7 points)

Après une mise à jour, la charge d'un service (en milliers de requêtes par minute) est modélisée, pour \(x\) heures écoulées avec \(x \in [0\,;\,8]\), par [ f(x) = x\,e^{-x/2}. ]

1. (3 points)

a) Montrer que \(f'(x) = \dfrac{2 - x}{2}\,e^{-x/2}\). b) Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;\,8]\). c) À quel moment la charge est-elle maximale, et quelle est sa valeur (à \(10^{-2}\) près) ?

2. (1 point) Calculer la limite de \(f(x)\) quand \(x \to +\infty\) (admise : \(x e^{-x/2} \to 0\)). Que représente-t-elle pour le service ?

3. (3 points)

a) Montrer que \(F(x) = -2(x + 2)e^{-x/2}\) est une primitive de \(f\). b) En déduire \(\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx\) (valeur exacte puis approchée à \(10^{-2}\) près). c) Calculer la valeur moyenne de \(f\) sur \([0\,;\,4]\) et l'interpréter.

Voir le corrigé et le barème

1. a) (1 pt) \(f'(x) = e^{-x/2} + x\left(-\dfrac{1}{2}\right)e^{-x/2} = \left(1 - \dfrac{x}{2}\right)e^{-x/2} = \dfrac{2 - x}{2}\,e^{-x/2}\).

b) (1 pt) \(e^{-x/2} > 0\), donc \(f'\) a le signe de \(2 - x\) : positif pour \(x < 2\), négatif pour \(x > 2\).

\(x\)	0	2	8
\(f(x)\)	0	\(2e^{-1}\) (maximum)	\(8e^{-4}\)

La fonction croît de \(0\) à \(2e^{-1}\) sur \([0\,;\,2]\), puis décroît sur \([2\,;\,8]\) ; \(f(8) = 8e^{-4} \approx 0{,}15\).

c) (1 pt) La charge est maximale 2 heures après la mise à jour, pour \(f(2) = 2e^{-1} \approx 0{,}74\), soit environ 740 requêtes par minute.

2. (1 pt) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) : la droite \(y = 0\) est asymptote. La charge revient vers 0 : le pic lié à la mise à jour se résorbe.

3. a) (1 pt) \(F'(x) = -2e^{-x/2} - 2(x + 2)\left(-\dfrac{1}{2}\right)e^{-x/2} = e^{-x/2}(-2 + x + 2) = x\,e^{-x/2} = f(x)\).

b) (1 pt) \(\displaystyle\int_{0}^{4} f(x)\,dx = F(4) - F(0) = -12e^{-2} - (-4) = 4 - 12e^{-2} \approx 2{,}38\) (milliers de requêtes par minute, sommées sur 4 heures).

c) (1 pt) Valeur moyenne : \(\dfrac{4 - 12e^{-2}}{4} = 1 - 3e^{-2} \approx 0{,}59\) : la charge moyenne sur les 4 premières heures est d'environ 590 requêtes par minute, inférieure au pic de 740.

Exercice 2 – Charge et utilisateurs (6 points)

On relève le nombre \(x\) de centaines d'utilisateurs connectés et la charge processeur \(y\) (en %) :

\(x\)	1	2	3	4	5	6
\(y\)	12	19	31	38	52	57

1. (2 points) Calculer la moyenne, la médiane et l'écart type de \(y\) (à \(10^{-2}\) près).

2. (2 points) Donner, à la calculatrice, l'équation de la droite de régression de \(y\) en \(x\) (coefficients à \(10^{-2}\) près) et le coefficient de corrélation. Que penser de l'ajustement ?

3. (2 points) Estimer la charge pour 800 utilisateurs. À partir de combien d'utilisateurs la charge prévue dépasse-t-elle 70 % ? Discuter la validité de ces prévisions.

Voir le corrigé et le barème

1. (2 pts) Somme \(= 209\), moyenne \(\dfrac{209}{6} \approx 34{,}83\) %. Médiane : \(\dfrac{31 + 38}{2} = 34{,}5\) %. Écart type (sur \(n\)) \(\approx 16{,}24\) %.

2. (2 pts) \(y \approx 9{,}46x + 1{,}73\) et \(r \approx 0{,}994\). \(r\) est très proche de 1 : l'ajustement affine est très bon. (1 pt pour la droite, 1 pt pour le commentaire de \(r\).)

3. (2 pts) Pour 800 utilisateurs, \(x = 8\) : \(y \approx 9{,}46 \times 8 + 1{,}73 \approx 77{,}4\) %. Pour \(y > 70\) : \(x > \dfrac{70 - 1{,}73}{9{,}46} \approx 7{,}22\), soit plus de 722 utilisateurs. Ces prévisions sont des extrapolations : l'observation s'arrête à \(x = 6\), et la charge peut cesser d'être linéaire près de la saturation. (1 pt pour les calculs, 1 pt pour la discussion.)

Exercice 3 – Fiabilité d'une baie de stockage (7 points)

Partie A – Les disques (3 points). Une baie contient 10 disques. Sur une année, chaque disque est défaillant avec la probabilité \(0{,}05\), indépendamment des autres. \(X\) est le nombre de disques défaillants.

1. Quelle est la loi de \(X\) ? Donner \(E(X)\). (1 point)

2. Calculer \(P(X = 0)\) et \(P(X \ge 2)\) (à \(10^{-4}\) près). (2 points)

Partie B – Le serveur de contrôle (4 points). La durée de vie \(T\) d'un serveur de contrôle suit une loi exponentielle de MTBF \(1\,500\) h.

3. Donner \(\lambda\) et calculer \(P(T > 1000)\). (1 point)

4. Deux serveurs identiques sont montés en parallèle. Le montage fonctionne tant qu'au moins un des deux serveurs fonctionne ; les serveurs tombent en panne indépendamment. Calculer la probabilité que le montage fonctionne encore à 1 000 h. (1 point)

5. a) Calculer la durée \(t\) (en heures) pendant laquelle un serveur fonctionne avec une probabilité de 0,9, c'est-à-dire telle que \(P(T > t) = 0{,}9\). b) Un serveur fonctionne encore à 1 000 h. Calculer la probabilité qu'il fonctionne encore à 2 000 h, et commenter. (2 points)

Voir le corrigé et le barème

1. (1 pt) \(X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}05)\) (10 épreuves indépendantes de même probabilité). \(E(X) = 10 \times 0{,}05 = 0{,}5\) disque par an.

2. (2 pts) \(P(X = 0) = 0{,}95^{10} \approx 0{,}5987\). \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0{,}0861\), soit environ 8,6 % de chances de perdre au moins deux disques dans l'année : la tolérance à deux pannes simultanées (RAID 6) se justifie.

3. (1 pt) \(\lambda = \dfrac{1}{1500} \approx 6{,}67 \times 10^{-4}\) h\(^{-1}\). \(P(T > 1000) = e^{-1000/1500} = e^{-2/3} \approx 0{,}5134\).

4. (1 pt) \(R = 1 - (1 - 0{,}5134)^2 \approx 0{,}7632\).

5. (2 pts) a) \(e^{-t/1500} = 0{,}9\) donne \(t = -1500 \ln 0{,}9 \approx 158\) h : à peine une semaine de fonctionnement garanti à 90 %, bien moins que la MTBF. (1 pt) b) \(P_{T > 1000}(T > 2000) = \dfrac{P(T > 2000)}{P(T > 1000)} = \dfrac{e^{-2000/1500}}{e^{-1000/1500}} = e^{-1000/1500} \approx 0{,}5134\). C'est la même probabilité qu'un serveur neuf de tenir 1 000 h : la loi exponentielle est sans mémoire (pas d'usure). (1 pt, dont 0,5 pour le commentaire.)

Barème récapitulatif

Exercice	Points
1. Analyse	7
2. Statistique	6
3. Probabilités et fiabilité	7
Total	20