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Cours 1 – La fiabilité et la loi exponentielle

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M5, première partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : définir la fiabilité d'un composant ; utiliser la loi exponentielle (taux de défaillance constant) ; calculer une probabilité de survie, une MTBF et une durée médiane ; expliquer la propriété sans mémoire et ses limites.

Prérequis. L'exponentielle (module M1) et les probabilités (module M4).

Programme. La loi exponentielle fait partie des modules de probabilités de l'unité UF2. La fiabilité n'est pas un module de l'unité : c'est ici une application de la loi exponentielle, très utile pour un technicien SISR. Le vocabulaire (fiabilité, MTBF) doit être rappelé par l'énoncé s'il est utilisé.

1. Pour démarrer : pourquoi parler de fiabilité ?

Un disque dur d'un serveur finira par tomber en panne. On ne sait pas quand, mais on peut dire avec quelle probabilité il tiendra 1 000 heures. C'est la fiabilité, un outil central en exploitation informatique : dimensionner la redondance, estimer les arrêts, négocier un SLA (accord de niveau de service).

2. La fonction de fiabilité

Soit \(T\) la durée de bon fonctionnement d'un composant, en heures (on la voit comme une variable aléatoire : elle varie d'un exemplaire à l'autre).

Définition. La fiabilité à l'instant \(t\) est la probabilité que le composant fonctionne encore à l'instant \(t\) :

\[ R(t) = P(T > t). \]

Propriétés évidentes : \(R(0) = 1\) (à l'instant 0, le composant marche) ; \(R\) est décroissante (plus le temps passe, plus c'est improbable) ; \(R(t)\) tend vers 0 quand \(t\) devient très grand.

La probabilité qu'il soit déjà tombé en panne à l'instant \(t\) est le contraire : \(P(T \le t) = 1 - R(t)\).

3. La loi exponentielle : un taux de défaillance constant

L'hypothèse. Beaucoup de composants électroniques ne « s'usent » pas pendant leur vie utile : à chaque instant, ils ont la même chance de tomber en panne, quel que soit leur âge. On parle d'un taux de défaillance constant, noté \(\lambda\) (« lambda »), en pannes par heure (h\(^{-1}\)).

La loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) décrit alors la durée de vie :

\[ R(t) = e^{-\lambda t}, \qquad P(T \le t) = 1 - e^{-\lambda t}. \]

La MTBF (Mean Time Between Failures, durée moyenne de bon fonctionnement) est

\[ \text{MTBF} = E(T) = \dfrac{1}{\lambda}. \]

Elle est liée à \(\lambda\) comme l'inverse : une MTBF de 2 000 h correspond à \(\lambda = \dfrac{1}{2000} = 0{,}0005\) panne par heure.

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 t (heures) R(t) médiane 1 386 h MTBF 2 000 h : R ≈ 0,37
Fonction de fiabilité R(t) = e^(−t/2000). À la MTBF (2 000 h), il reste environ 37 % des composants en état de marche ; la moitié est tombée en panne à la médiane (1 386 h).

Exemple résolu : un disque dur. Son taux de défaillance est \(\lambda = 0{,}0005\) h\(^{-1}\) (MTBF 2 000 h). Calculer la probabilité qu'il fonctionne encore à 1 000 h, qu'il tombe en panne avant 500 h, et sa durée médiane.

Voir la solution détaillée

Fiabilité à 1 000 h. \(R(1000) = e^{-0{,}0005 \times 1000} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\) : environ 61 % des disques tiennent encore à 1 000 h.

Panne avant 500 h. \(P(T \le 500) = 1 - e^{-0{,}0005 \times 500} = 1 - e^{-0{,}25} \approx 0{,}2212\) : environ 22 %.

Durée médiane. C'est la durée \(t_{1/2}\) telle que \(R(t_{1/2}) = 0{,}5\) (la moitié des disques tient encore) :

\[ e^{-\lambda t} = 0{,}5 \iff -\lambda t = \ln 0{,}5 \iff t = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = 2000 \ln 2 \approx 1\,386 \text{ h}. \]

Interprétation. La médiane (1 386 h) est inférieure à la MTBF (2 000 h) : la moitié des disques tombe en panne avant 1 386 h, alors que la moyenne est de 2 000 h, tirée vers le haut par les disques très durables.

Warning

La MTBF n'est pas une durée de vie garantie. Avec une MTBF de 2 000 h, la fiabilité à 2 000 h n'est que de \(e^{-1} \approx 37\) % : 63 % des composants sont déjà en panne à la MTBF. Voir aussi la figure.

4. La propriété sans mémoire

Pour la loi exponentielle :

\[ P(T > s + t \mid T > s) = P(T > t). \]

La probabilité de tenir encore \(t\) heures, sachant qu'on a déjà fonctionné \(s\) heures, est la même que pour un composant neuf. Le composant « ne vieillit pas ».

Exemple. Un disque a déjà fonctionné 500 h. Probabilité de tenir 1 000 h de plus ? C'est \(R(1000) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065\), comme pour un disque neuf. Le calcul direct le confirme : \(\dfrac{R(1500)}{R(500)} = \dfrac{e^{-0{,}75}}{e^{-0{,}25}} = e^{-0{,}5}\).

Warning

Une limite du modèle. Un vrai disque s'use : sa fiabilité après plusieurs années est moindre que celle d'un disque neuf. Le modèle exponentielle décrit bien la « vie utile » (la période où les pannes sont aléatoires), pas le vieillissement en fin de vie ni la jeunesse (défauts de fabrication au début). Savoir le dire est une marque de sens critique.

5. Un lien avec la loi de Poisson

Si les pannes surviennent au hasard à un rythme moyen de \(\lambda\) pannes par heure, alors :

  • le nombre de pannes sur une période suit une loi de Poisson (module M4) ;
  • le temps qui sépare deux pannes successives suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).

Ce sont deux manières de décrire le même phénomène : l'une compte, l'autre mesure l'attente.

6. Calculer avec Python

from math import exp, log

lam = 1 / 2000
print(exp(-lam * 1000))      # fiabilité à 1000 h : 0.6065...
print(1 - exp(-lam * 500))   # panne avant 500 h : 0.2212...
print(log(2) / lam)          # médiane : 1386.29...

7. À retenir

Note

  • Fiabilité : \(R(t) = P(T > t)\) ; décroissante, \(R(0) = 1\).
  • Loi exponentielle de taux \(\lambda\) : \(R(t) = e^{-\lambda t}\), MTBF \(= \dfrac{1}{\lambda}\), médiane \(= \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
  • À la MTBF, seulement \(37\) % des composants fonctionnent encore.
  • Sans mémoire : le composant ne vieillit pas (hypothèse à discuter).
  • Pannes aléatoires à taux \(\lambda\) : nombre de pannes → Poisson ; durée entre pannes → exponentielle.

8. Teste-toi

Question 1. Un composant a une MTBF de 500 h. Calculer son taux \(\lambda\) et sa fiabilité à 100 h.

Question 2. Pour ce composant, quelle est la probabilité de panne avant 100 h ?

Question 3. Pourquoi une MTBF de 500 h ne veut-elle pas dire que le composant dure 500 h ?

Voir les réponses
  1. \(\lambda = \dfrac{1}{500} = 0{,}002\) h\(^{-1}\). \(R(100) = e^{-0{,}002 \times 100} = e^{-0{,}2} \approx 0{,}8187\).
  2. \(P(T \le 100) = 1 - 0{,}8187 \approx 0{,}1813\), soit environ 18 %.
  3. La MTBF est une durée moyenne, pas une garantie : à \(t = 500\) h, \(R(500) = e^{-1} \approx 0{,}37\) : environ 63 % des composants sont déjà en panne. Certains tombent en panne très vite, d'autres durent très longtemps.

Pour continuer : le cours 2 sur les systèmes et la disponibilité.