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Exercices – Calcul différentiel et intégral

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M2

Note

Trois niveaux : socle, format épreuve, pour aller plus loin. Les calculs sont élémentaires ; la rédaction et l'interprétation comptent.

Niveau 1 – Socle

Exercice 1 – Dériver

Dériver : \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\), \(g(x) = x e^{x}\), \(h(x) = \dfrac{\ln x}{x}\), \(k(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}\).

Voir la réponse
  • \(f'(x) = 6x - 4\).
  • \(g'(x) = e^{x} + x e^{x} = (1 + x)e^{x}\) (produit).
  • \(h'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^{2}} = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}\) (quotient).
  • \(k'(x) = \dfrac{2(x + 1) - (2x + 1)}{(x + 1)^{2}} = \dfrac{1}{(x + 1)^{2}}\).

Exercice 2 – Justifier une primitive

Montrer que \(F(x) = x e^{x} - e^{x}\) est une primitive de \(f(x) = x e^{x}\), puis calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx\).

Voir la réponse

On dérive : \(F'(x) = (e^{x} + x e^{x}) - e^{x} = x e^{x} = f(x)\). \(F\) est bien une primitive de \(f\).

Donc \(\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx = F(1) - F(0) = (e - e) - (0 - 1) = 1\).

Niveau 2 – Format épreuve

Exercice 3 – Étude d'une fonction

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) sur \([0\,;\,5]\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et la factoriser.
  2. Dresser le tableau de variations.
  3. Quels sont le maximum et le minimum de \(f\) sur \([0\,;\,5]\) ?
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  1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)\).
  2. Signe de \(f'\) : positif pour \(x < 1\), négatif pour \(1 < x < 3\), positif pour \(x > 3\).
\(x\) 0 1 3 5
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f(x)\) 1 5 1 21

Valeurs : \(f(0) = 1\), \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\), \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\), \(f(5) = 125 - 150 + 45 + 1 = 21\).

  1. Le maximum sur \([0\,;\,5]\) est \(21\), atteint en \(x = 5\) (c'est un extremum de bord) ; le minimum est \(1\), atteint en \(x = 0\) et en \(x = 3\). Le point \(x = 1\) est un maximum local de valeur \(5\).

Exercice 4 – Coût moyen minimal

Le coût moyen de production, en euros par unité, de \(q\) unités est \(CM(q) = q + \dfrac{100}{q}\) pour \(q > 0\).

  1. Calculer \(CM'(q)\) et étudier son signe.
  2. En déduire la quantité qui minimise le coût moyen et ce coût minimal.
  3. Comparer avec \(CM(5)\) et \(CM(20)\).
Voir la réponse
  1. \(CM'(q) = 1 - \dfrac{100}{q^2} = \dfrac{q^2 - 100}{q^2}\). Pour \(q > 0\), le signe est celui de \(q^2 - 100\) : négatif pour \(q < 10\), positif pour \(q > 10\).
  2. \(CM\) décroît puis croît : le minimum est en \(q = 10\), avec \(CM(10) = 10 + 10 = 20\) euros par unité.
  3. \(CM(5) = 5 + 20 = 25\) et \(CM(20) = 20 + 5 = 25\) : les deux sont supérieurs à 20, ce qui confirme le minimum. Produire 10 unités est la quantité optimale pour le coût moyen.

Exercice 5 – Régime stable

Un service reçoit des requêtes selon le modèle \(f(x) = (x + 2)e^{-x}\), où \(x\) est le temps en heures après un incident.

  1. Calculer \(f(0)\) et la limite de \(f\) en \(+\infty\).
  2. Montrer que \(f'(x) = -(x + 1)e^{-x}\) et en déduire le sens de variation.
  3. Interpréter.
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  1. \(f(0) = 2\). Quand \(x \to +\infty\), \(f(x) \to 0\) (l'exponentielle décroissante l'emporte sur \(x + 2\)). La droite \(y = 0\) est asymptote horizontale.
  2. \(f'(x) = e^{-x} + (x + 2)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x - 2) = -(x + 1)e^{-x}\), négatif pour \(x \ge 0\). Donc \(f\) est strictement décroissante.
  3. Le trafic part de 2 (unité du modèle) et diminue sans cesse pour revenir vers 0 : l'incident se résorbe, sans jamais devenir exactement nul.

Exercice 8 – Étude avec asymptote oblique

Soit \(f(x) = x + e^{-x}\) pour \(x \ge 0\).

  1. Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
  2. Montrer que la droite \(y = x\) est asymptote oblique en \(+\infty\). Quelle est la position de la courbe par rapport à elle ?
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  1. \(f'(x) = 1 - e^{-x}\) (dérivée de \(e^{-x}\) : \(-e^{-x}\)). Pour \(x > 0\), \(e^{-x} < 1\) donc \(f'(x) > 0\) ; \(f'(0) = 0\). La fonction est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), de \(f(0) = 1\) jusqu'à \(+\infty\). Valeurs : \(f(1) \approx 1{,}368\), \(f(2) \approx 2{,}135\).
  2. \(f(x) - x = e^{-x} \to 0\) quand \(x \to +\infty\) : la droite \(y = x\) est asymptote oblique. Comme \(e^{-x} > 0\), la courbe est au-dessus de l'asymptote.

Exercice 9 – Primitives de la forme \(u'e^{u}\), \(\dfrac{u'}{u}\)

Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{-x^{2}}\,dx\) et \(\displaystyle\int_{0}^{2} \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx\). Contrôler à la calculatrice.

Voir la réponse
  1. \(u = -x^{2}\), \(u' = -2x\) : \(x\,e^{-x^{2}} = -\dfrac{1}{2}\,u'\,e^{u}\). Primitive : \(-\dfrac{1}{2}e^{-x^{2}}\). Intégrale : \(-\dfrac{1}{2}\big(e^{-1} - 1\big) = \dfrac{1 - e^{-1}}{2} \approx 0{,}316\).
  2. \(u = x^{2} + 1\), \(u' = 2x\) : \(\dfrac{x}{x^{2}+1} = \dfrac{1}{2}\,\dfrac{u'}{u}\). Primitive : \(\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\). Intégrale : \(\dfrac{1}{2}\ln 5 \approx 0{,}805\).

Niveau 3 – Pour aller plus loin

Exercice 6 – Aire, valeur moyenne

  1. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1)\,dx\) (une primitive est \(x^3 - 2x^2 + x\), à justifier par dérivation).
  2. Calculer la valeur moyenne de \(x^2 + 1\) sur \([0\,;\,3]\).
  3. Un débit est modélisé par \(d(t) = e^{-t/2}\) (en Go par heure). Quelle quantité est transférée entre \(t = 0\) et \(t = 4\) ?
Voir la réponse
  1. La dérivée de \(x^3 - 2x^2 + x\) est \(3x^2 - 4x + 1\), donc c'est une primitive. L'intégrale vaut \([x^3 - 2x^2 + x]_{0}^{2} = (8 - 8 + 2) - 0 = 2\).
  2. Une primitive de \(x^2 + 1\) est \(\frac{x^3}{3} + x\) (dérivée : \(x^2 + 1\)). L'intégrale sur \([0\,;\,3]\) vaut \(9 + 3 = 12\), la valeur moyenne \(\dfrac{12}{3} = 4\).
  3. Une primitive de \(e^{-t/2}\) est \(-2e^{-t/2}\) (dérivée : \(e^{-t/2}\)). Quantité : \([-2e^{-t/2}]_{0}^{4} = -2e^{-2} + 2 = 2 - 2e^{-2} \approx 1{,}73\) Go.

Exercice 7 – Méthode de Newton

Pour approcher \(\sqrt{2}\), on résout \(f(x) = x^2 - 2 = 0\) par la suite \(x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\).

  1. Expliciter \(x_{n+1}\) en fonction de \(x_n\).
  2. Calculer \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) à partir de \(x_0 = 1\).
  3. Écrire une fonction Python qui arrête l'itération quand \(|x_{n+1} - x_n| < 10^{-10}\).
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  1. \(f'(x) = 2x\), donc \(x_{n+1} = x_n - \dfrac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{2}{x_n}\right)\).
  2. \(x_1 = \dfrac{1}{2}(1 + 2) = 1{,}5\) ; \(x_2 = \dfrac{1}{2}\left(1{,}5 + \dfrac{2}{1{,}5}\right) \approx 1{,}41667\) ; \(x_3 \approx 1{,}414216\). La valeur exacte est \(\sqrt{2} \approx 1{,}414214\) : la convergence est très rapide.
  3. Voici une version possible :
def newton_racine2(x0=1.0, eps=1e-10):
    x = x0
    while True:
        suivant = (x + 2 / x) / 2
        if abs(suivant - x) < eps:
            return suivant
        x = suivant