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Cours – Comportement à long terme et algorithmes de seuil

BTS SIO SISR 2e année – Pour aller plus loin – S05 – à lire avant les exercices

Ce que tu dois savoir déjà

  • Prérequis : S03 et S04 (suites géométriques, récurrence « pourcentage plus ajout »).
  • Outils : Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site

À la fin de ce cours tu sauras

  • Étudier la monotonie d'une suite ;
  • Déterminer la limite d'une suite arithmétique ou géométrique ;
  • Étudier une suite récurrente affine (point fixe) ;
  • Écrire un algorithme de seuil et en garantir l'arrêt ;
  • Interpréter une limite dans le contexte.

I. Limites usuelles

On dit que \((u_n)\) tend vers \(L\) (elle converge) si \(u_n\) devient aussi proche de \(L\) qu'on le veut quand \(n\) est assez grand. Elle peut aussi tendre vers \(+\infty\) (elle dépasse tout nombre) ou vers \(-\infty\), ou n'avoir aucune limite.

Suite Condition Comportement
Arithmétique \(u_0 + nr\) \(r > 0\) tend vers \(+\infty\)
\(r < 0\) tend vers \(-\infty\)
\(r = 0\) constante
Géométrique \(u_0 q^n\) (\(u_0 > 0\)) \(q > 1\) tend vers \(+\infty\)
\(-1 < q < 1\) tend vers \(0\)
\(q = 1\) constante
\(q \le -1\) pas de limite (alterne)

Exemple : \(3 \times 0{,}8^n\) tend vers 0 (une baisse de 20 % par période finit par tout réduire à presque rien).

II. Suite récurrente affine

Une suite de la forme

\[ u_{n+1} = a\,u_n + b \qquad (a \ne 1) \]

a un point fixe \(L\) : la valeur qui ne change plus, solution de \(L = aL + b\), soit

\[ L = \frac{b}{1 - a} \]

La suite auxiliaire \(v_n = u_n - L\) est géométrique de raison \(a\) : en effet \(v_{n+1} = u_{n+1} - L = a\,u_n + b - (aL + b) = a\,(u_n - L) = a\,v_n\). On en déduit

\[ u_n = L + (u_0 - L)\,a^n \]

Si \(-1 < a < 1\), alors \(a^n \to 0\) et \(u_n\) tend vers \(L\).

Exemple. \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 10\). Le point fixe est \(L = \dfrac{10}{1 - 0{,}5} = 20\). Donc \(u_n = 20 - 20 \times 0{,}5^n\) : les termes \(0, 10, 15, 17{,}5, 18{,}75, \dots\) se rapprochent de 20 sans le dépasser.

Sens informatique. Si chaque mois on supprime la moitié des fichiers temporaires et qu'on en ajoute 10 Go, le volume se stabilise vers 20 Go : il n'y a pas de saturation à long terme si le disque dépasse 20 Go.

III. Algorithme de seuil

On cherche le premier rang où la suite atteint un seuil \(S\) :

def rang_seuil(f, u0, seuil):
    u, n = u0, 0
    while u < seuil:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

Warning

Cette boucle ne s'arrête pas si la suite ne dépasse jamais le seuil (par exemple si elle converge vers une limite inférieure au seuil). Avant d'écrire un algorithme de seuil, on se demande : la suite atteint-elle le seuil ? (limite \(+\infty\), ou limite au-delà du seuil). Sinon, on ajoute un garde-fou : un nombre maximal d'itérations.

def rang_seuil_sur(f, u0, seuil, nmax):
    u, n = u0, 0
    while u < seuil and n < nmax:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n if u >= seuil else None

Variant : l'entier nmax - n décroît strictement, donc la boucle s'arrête toujours.

IV. Sommes qui dépassent un seuil

Pour trouver le plus petit \(n\) tel que \(1 + 2 + \dots + n \ge S\), on accumule dans une boucle : s augmente à chaque tour, donc il dépasse \(S\) au bout d'un nombre fini de tours (la somme tend vers \(+\infty\)).

Test flash. La suite \(u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 30\) tend vers quelle valeur ?

Voir la réponse

\(L = \dfrac{30}{1 - 0{,}8} = 150\). Le volume se stabilise vers 150 Go.

À retenir

  • Arithmétique : \(\pm\infty\) selon le signe de \(r\). Géométrique : \(\to 0\) si \(|q| < 1\), \(\to +\infty\) si \(q > 1\).
  • \(u_{n+1} = a u_n + b\) : point fixe \(L = b/(1-a)\), \(u_n = L + (u_0 - L)a^n\).
  • Algorithme de seuil : vérifier que le seuil est atteignable, sinon garde-fou.