Cours 3 – Probabilités conditionnelles et indépendance
BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M4, troisième partie
Note
Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : calculer une probabilité conditionnelle ; construire et lire un arbre pondéré ; appliquer la formule des probabilités totales ; inverser un conditionnement (formule de Bayes) ; tester l'indépendance de deux événements ; calculer l'espérance et la variance de \(aX + b\) et d'une somme de variables indépendantes.
Prérequis. Le cours 1 (probabilités, variable aléatoire, espérance).
1. Pour démarrer : un filtre qui se trompe parfois
Un filtre anti-spam classe les messages. On sait que 30 % des messages reçus sont des spams. Le filtre détecte 95 % des spams, mais classe à tort 2 % des messages normaux comme spams. Un message vient d'être classé spam : quelle est la probabilité que ce soit vraiment un spam ? Beaucoup de gens répondent 95 %. Le calcul va montrer pourquoi la réponse est différente, et pourquoi il faut un outil.
2. Probabilité conditionnelle
La probabilité de \(B\) sachant que \(A\) est réalisé se note \(P_A(B)\) (ou \(P(B \mid A)\)). Pour \(P(A) > 0\) :
Lecture. On restreint l'univers aux cas où \(A\) est réalisé, et on regarde la part de \(B\) dans ce sous-ensemble.
3. L'arbre pondéré
On note \(S\) : « le message est un spam » et \(D\) : « le filtre le classe spam ».
| Branche | Probabilité |
|---|---|
| \(S\) | 0,30 |
| \(\overline{S}\) | 0,70 |
| \(D\) sachant \(S\) | 0,95 |
| \(\overline{D}\) sachant \(S\) | 0,05 |
| \(D\) sachant \(\overline{S}\) | 0,02 |
| \(\overline{D}\) sachant \(\overline{S}\) | 0,98 |
Règles de l'arbre. (1) La somme des probabilités des branches qui partent d'un même nœud vaut 1. (2) La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. (3) La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Les quatre chemins :
| Chemin | Probabilité |
|---|---|
| \(S \cap D\) (spam détecté) | \(0{,}30 \times 0{,}95 = 0{,}285\) |
| \(S \cap \overline{D}\) (spam manqué) | \(0{,}30 \times 0{,}05 = 0{,}015\) |
| \(\overline{S} \cap D\) (fausse alerte) | \(0{,}70 \times 0{,}02 = 0{,}014\) |
| \(\overline{S} \cap \overline{D}\) (message normal laissé) | \(0{,}70 \times 0{,}98 = 0{,}686\) |
Les quatre probabilités ont pour somme \(0{,}285 + 0{,}015 + 0{,}014 + 0{,}686 = 1\). ✔
4. Probabilités totales
Les événements \(S\) et \(\overline{S}\) forment une partition (ils s'excluent et couvrent tout). Alors
Donc 29,9 % des messages sont classés spam par le filtre.
5. Inverser le conditionnement
On veut \(P_D(S)\), la probabilité qu'un message classé spam en soit vraiment un :
Environ 95,3 %. Autre question utile : un message non classé spam est-il sûr ? \(P_{\overline{D}}(S) = \dfrac{0{,}015}{1 - 0{,}299} = \dfrac{0{,}015}{0{,}701} \approx 0{,}0214\) : environ 2,1 % des messages laissés passer sont en fait des spams.
Warning
Ne pas confondre \(P_S(D)\) et \(P_D(S)\). Ici \(P_S(D) = 0{,}95\) (le filtre détecte 95 % des spams) alors que \(P_D(S) \approx 0{,}953\). Les deux sont proches parce que les spams sont fréquents (30 %). Si les spams étaient rares (par exemple 1 % des messages), \(P_D(S)\) tomberait à \(\dfrac{0{,}01 \times 0{,}95}{0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}02} \approx 0{,}324\) : la majorité des alertes serait de fausses alertes.
6. Événements indépendants
\(A\) et \(B\) sont indépendants si savoir que \(A\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(B\) : \(P_A(B) = P(B)\), ce qui équivaut à
Exemple. Sur 200 tickets d'incident, 80 sont critiques (\(C\)) et 100 sont résolus en moins d'une heure (\(R\)). Donc \(P(C) = 0{,}4\) et \(P(R) = 0{,}5\).
- Si 40 tickets sont à la fois critiques et résolus vite : \(P(C \cap R) = 0{,}2 = 0{,}4 \times 0{,}5\). Indépendants : la criticité n'influence pas le délai.
- Si 60 tickets sont à la fois critiques et résolus vite : \(P(C \cap R) = 0{,}3 \ne 0{,}2\). Non indépendants (les tickets critiques sont plus vite traités).
Warning
Incompatibles n'est pas indépendants. Deux événements incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)) de probabilités non nulles sont au contraire très dépendants : si \(A\) est réalisé, \(B\) est impossible.
7. Espérance et variance : \(aX + b\) et sommes
Pour une variable aléatoire \(X\) et des réels \(a\), \(b\) :
Le décalage \(b\) change la moyenne mais pas la dispersion. Pour deux variables \(X\) et \(Y\) :
Exemple résolu. Le nombre \(X\) d'échecs sur 10 tentatives suit \(\mathcal{B}(10\,;\,0{,}05)\). Chaque échec coûte 5 € et il y a 20 € de frais fixes : \(C = 5X + 20\). Calculer \(E(C)\) et \(\sigma(C)\).
Voir la solution
\(E(X) = 10 \times 0{,}05 = 0{,}5\) et \(V(X) = 10 \times 0{,}05 \times 0{,}95 = 0{,}475\). Donc \(E(C) = 5 \times 0{,}5 + 20 = 22{,}5\) € et \(V(C) = 25 \times 0{,}475 = 11{,}875\), soit \(\sigma(C) = \sqrt{11{,}875} \approx 3{,}45\) €.
Contrôle sur une somme : si \(Y \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)\) est indépendante de \(X\), alors \(X + Y \sim \mathcal{B}(30\,;\,0{,}05)\) : \(E = 1{,}5 = 0{,}5 + 1\) et \(V = 1{,}425 = 0{,}475 + 0{,}95\). ✔
8. À retenir
Note
- \(P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) ; \(P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B)\).
- Arbre : produit le long d'un chemin, somme des chemins qui mènent à l'événement ; probabilités totales avec une partition.
- Inverser un conditionnement : \(P_D(S) = \dfrac{P(S \cap D)}{P(D)}\) ; ne pas confondre \(P_S(D)\) et \(P_D(S)\).
- Indépendants : \(P(A \cap B) = P(A)\,P(B)\). Incompatibles et indépendants ne sont pas synonymes.
- \(E(aX+b) = aE(X) + b\) ; \(V(aX+b) = a^{2}V(X)\) ; \(V(X+Y) = V(X) + V(Y)\) si indépendantes.
9. Teste-toi
Question 1. Dans l'exemple du filtre, quelle est la probabilité qu'un message soit un spam non détecté ?
Question 2. \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Les événements sont-ils indépendants ? Calculer \(P_A(B)\).
Question 3. \(E(X) = 10\) et \(V(X) = 4\). Calculer \(E(3X - 2)\) et \(V(3X - 2)\).
Voir les réponses
- \(P(S \cap \overline{D}) = 0{,}30 \times 0{,}05 = 0{,}015\), soit 1,5 %.
- \(P(A)\,P(B) = 0{,}2 = P(A \cap B)\) : indépendants. \(P_A(B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4 = P(B)\).
- \(E = 3 \times 10 - 2 = 28\) ; \(V = 9 \times 4 = 36\).
Pour continuer : le cours 4 sur la loi uniforme et l'approximation normale.