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Cours 1 – Fonctions et modèles

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M1, première partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : lire une fonction donnée par une formule, un tableau ou une courbe ; reconnaître une fonction affine, du second degré, inverse ; résoudre une équation et comparer deux modèles ; composer deux fonctions ; valider un résultat dans son contexte.

Prérequis. Le calcul littéral et les équations du premier degré (programme de l'unité de mathématiques de première année).

Durée conseillée. 1 h 30 de lecture active (crayon en main), puis les exercices de niveau 1.

1. Pour démarrer : pourquoi des fonctions ?

Un hébergeur facture 40 € de frais fixes, plus 2,50 € par machine virtuelle. Combien coûtent 4 machines ? 10 ? 25 ?

Nombre de machines 4 10 25
Coût (en €) 50 65 102,5

À chaque nombre de machines correspond un seul coût : c'est une fonction. On la note par exemple \(C\) et on écrit \(C(x) = 40 + 2{,}5x\), où \(x\) est le nombre de machines. Une fonction est un modèle : une règle qui permet de prévoir une grandeur (le coût) à partir d'une autre (le nombre de machines), sans refaire le calcul à la main chaque fois.

2. Le vocabulaire à connaître

Pour une fonction \(f\) :

  • \(x\) est la variable (la grandeur d'entrée) ;
  • \(f(x)\) est l'image de \(x\) (la grandeur de sortie), lue « \(f\) de \(x\) » ;
  • si \(f(a) = b\), on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\). Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Une fonction se présente de trois façons, qu'il faut savoir lire et relier :

Présentation Avantage Exemple
Formule calcule n'importe quelle valeur \(C(x) = 40 + 2{,}5x\)
Tableau de valeurs lecture rapide de quelques valeurs le tableau ci-dessus
Courbe vue d'ensemble : sens de variation, extremums voir les figures ci-dessous

Tip

Notation. \(f(3)\) ne veut pas dire « \(f\) multiplié par 3 », mais « l'image de 3 par \(f\) ». Pour calculer \(f(3)\), on remplace partout \(x\) par 3.

Exemple résolu. Pour \(f(x) = x^2 - 4x\), calculer \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(5)\), puis chercher un antécédent de 5.

Voir la solution

On remplace \(x\) :

  • \(f(0) = 0^2 - 4 \times 0 = 0\) ;
  • \(f(1) = 1 - 4 = -3\) ;
  • \(f(5) = 25 - 20 = 5\).

Comme \(f(5) = 5\), le nombre 5 est un antécédent de 5. On peut aussi vérifier que \(-1\) en est un autre : \(f(-1) = 1 + 4 = 5\). Le nombre 5 a donc au moins deux antécédents : c'est possible, car une fonction n'est pas obligée d'être « à sens unique » dans l'autre sens.

3. La fonction affine : le modèle le plus simple

Définition. Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\). Sa courbe est une droite.

  • \(a\) est la pente (ou coefficient directeur) : de combien \(f(x)\) varie quand \(x\) augmente de 1 ;
  • \(b\) est l'ordonnée à l'origine : la valeur de \(f(0)\).

Dans le coût d'hébergement \(C(x) = 40 + 2{,}5x\), la pente \(2{,}5\) est le prix d'une machine supplémentaire et \(40\) est le coût fixe. Savoir donner ce sens aux deux nombres est souvent demandé à l'épreuve.

Sens de variation. Si \(a > 0\), la fonction est croissante (la droite monte) ; si \(a < 0\), elle est décroissante (la droite descend) ; si \(a = 0\), elle est constante.

Retrouver \(a\) et \(b\) à partir de deux points. Si la droite passe par \((x_1\,;\,y_1)\) et \((x_2\,;\,y_2)\), alors \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), puis \(b = y_1 - a x_1\).

Exemple résolu. Un serveur consomme 120 W à vide et 180 W avec 6 machines virtuelles, la consommation étant affine en le nombre de machines. Trouver la formule.

Voir la solution

Deux points : \((0\,;\,120)\) et \((6\,;\,180)\). La pente est \(a = \dfrac{180 - 120}{6 - 0} = 10\) : chaque machine ajoute 10 W. Comme \(f(0) = 120\), on a \(b = 120\). Donc \(f(x) = 10x + 120\).

Contrôle : \(f(6) = 60 + 120 = 180\). Prévision pour 10 machines : \(f(10) = 220\) W.

4. La fonction du second degré : la parabole

Définition. Une fonction du second degré s'écrit \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \ne 0\). Sa courbe est une parabole.

−2 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 x f(x) sommet (2 ; −2) 1 3 axe de symétrie x = 2
Courbe de f(x) = 2x² − 8x + 6 : deux zéros (1 et 3), un minimum au sommet, une symétrie autour de x = 2.

Ce qu'il faut savoir lire sur la parabole :

  • Le sens. Si \(a > 0\), la parabole est « ouverte vers le haut » : elle a un minimum. Si \(a < 0\), elle est ouverte vers le bas : elle a un maximum.
  • Le sommet. Il est à l'abscisse \(x_S = -\dfrac{b}{2a}\), et la courbe est symétrique autour de la droite verticale \(x = x_S\).
  • Les zéros (les solutions de \(f(x) = 0\)), s'il y en a : on calcule le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
    • Si \(\Delta > 0\) : deux solutions \(x = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\).
    • Si \(\Delta = 0\) : une seule solution \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
    • Si \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle (la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses).

Exemple résolu. Étudier \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\) (la parabole de la figure).

Voir la solution

Ici \(a = 2\), \(b = -8\), \(c = 6\).

  1. Comme \(a > 0\), la parabole est ouverte vers le haut : il y a un minimum.
  2. Le sommet est à \(x_S = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = 2\), avec \(f(2) = 8 - 16 + 6 = -2\). Le minimum vaut \(-2\), atteint en \(x = 2\).
  3. Discriminant : \(\Delta = (-8)^2 - 4 \times 2 \times 6 = 64 - 48 = 16 > 0\), donc deux zéros : \(x = \dfrac{8 - 4}{4} = 1\) et \(x = \dfrac{8 + 4}{4} = 3\).

Contrôle avec la figure : les zéros sont symétriques autour de 2 (1 et 3), et le sommet est bien en \((2\,;\,-2)\).

5. La fonction inverse : quand une grandeur diminue si l'autre augmente

Situation. Un fichier de 1 200 Mo est transféré à un débit \(d\) (en Mo/s). La durée vaut \(t(d) = \dfrac{1200}{d}\).

Débit \(d\) (Mo/s) 10 20 40 120
Durée \(t\) (s) 120 60 30 10

Quand le débit double, la durée est divisée par deux : c'est le comportement de la fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{k}{x}\) (avec \(k > 0\) et \(x > 0\)). Elle est décroissante : plus \(x\) est grand, plus la valeur est petite, sans jamais atteindre 0.

Warning

Piège. On ne peut pas diviser par 0 : \(\dfrac{k}{x}\) n'a pas de sens pour \(x = 0\). Ici, un débit nul n'aurait d'ailleurs aucun sens non plus : la situation exclut cette valeur d'elle-même. On ne te demandera pas de chercher des domaines de définition en général, mais tu dois toujours te demander si la valeur a un sens pour le problème.

6. Comparer deux modèles

Souvent, on hésite entre deux offres. La méthode est toujours la même.

  1. Écrire une fonction pour chaque offre.
  2. Chercher quand elles coïncident : on résout \(f(x) = g(x)\).
  3. Regarder de chaque côté de cette valeur quelle offre est la moins chère.
  4. Interpréter : si \(x\) est un nombre entier d'objets, la solution doit être entière.

Exemple résolu. Offre A : \(A(x) = 40 + 2{,}5x\). Offre B : \(B(x) = 6x\), pour \(x\) machines.

Voir la solution

Point de rencontre. \(40 + 2{,}5x = 6x\) équivaut à \(40 = 3{,}5x\), donc \(x = \dfrac{40}{3{,}5} \approx 11{,}43\).

Comparaison. L'offre B n'a pas de frais fixes mais un prix unitaire plus élevé : pour peu de machines elle est la moins chère, pour beaucoup l'offre A l'est. Contrôle sur deux valeurs : pour \(x = 8\), \(A = 60\) et \(B = 48\) (B gagne) ; pour \(x = 20\), \(A = 90\) et \(B = 120\) (A gagne).

Interprétation. Le nombre de machines est entier, donc la solution \(11{,}43\) ne se lit pas telle quelle : \(x = 11\) donne \(A = 67{,}5\) et \(B = 66\) (B moins chère) ; \(x = 12\) donne \(A = 70\) et \(B = 72\) (A moins chère). L'offre A est la moins chère à partir de 12 machines.

7. Composer deux fonctions : enchaîner deux transformations

Parfois, le résultat d'une fonction sert d'entrée à une autre. Un article coûte \(x\) euros HT. On applique d'abord la TVA à 20 % (\(g(x) = 1{,}2x\)), puis une remise de 10 € (\(f(x) = x - 10\)).

\[ x \xrightarrow{\;g\;} 1{,}2x \xrightarrow{\;f\;} 1{,}2x - 10. \]

On note \(f \circ g\) (lire « \(f\) rond \(g\) ») la fonction « d'abord \(g\), puis \(f\) » : \((f \circ g)(x) = f(g(x))\).

Warning

L'ordre compte. En général, \(f \circ g \ne g \circ f\). Ici, \(g \circ f\) correspond à la remise avant la TVA : \((g \circ f)(x) = 1{,}2(x - 10)\). Pour \(x = 100\) : \((f \circ g)(100) = 110\) mais \((g \circ f)(100) = 108\). Les deux ne donnent pas le même prix.

Méthode. Pour calculer \(f(g(x))\), on remplace dans \(f\) la variable par l'expression de \(g(x)\), en la mettant entre parenthèses.

Exemple résolu. Avec \(f(x) = x + 3\) et \(g(x) = x^2\), donner \(f \circ g\) et \(g \circ f\).

Voir la solution

\((f \circ g)(x) = f(x^2) = x^2 + 3\) et \((g \circ f)(x) = g(x + 3) = (x + 3)^2\).

En \(x = 2\), on trouve \(7\) et \(25\) : les deux sont bien différentes.

8. Valider un résultat : le réflexe qui fait gagner des points

Un résultat numérique n'est pas fini tant qu'on ne l'a pas interprété. Avant de conclure :

  1. L'unité est-elle donnée ? (euros, Mo/s, heures…)
  2. L'ordre de grandeur est-il plausible ? (un temps de transfert de 3 jours pour 1 Go est suspect)
  3. La valeur est-elle acceptable ? Une solution négative, non entière alors qu'il s'agit d'objets, ou hors de l'intervalle étudié, se rejette ou se discute.
  4. Un contrôle : on remplace dans l'énoncé de départ.

9. À retenir

Note

  • Une fonction associe à chaque valeur de la variable une seule image ; elle se donne par formule, tableau ou courbe.
  • Affine \(ax + b\) : droite, pente \(a\) (variation par unité), ordonnée à l'origine \(b\) (valeur de départ).
  • Second degré : parabole, sommet en \(-\dfrac{b}{2a}\), zéros par \(\Delta = b^2 - 4ac\).
  • Inverse \(\dfrac{k}{x}\) : décroissante pour \(x > 0\).
  • Comparer deux modèles : résoudre \(f(x) = g(x)\), puis discuter la solution.
  • \(f \circ g\) : d'abord \(g\), puis \(f\) ; l'ordre change le résultat.
  • Toujours valider : unité, ordre de grandeur, valeur acceptable.

10. Teste-toi

Question 1. Pour \(f(x) = 3x - 2\), calculer \(f(4)\) et trouver l'antécédent de 10.

Question 2. Une fonction affine vaut 5 en \(x = 0\) et 11 en \(x = 3\). Donner sa formule.

Question 3. Combien de zéros a \(x^2 + 2x + 5\) ?

Voir les réponses
  1. \(f(4) = 12 - 2 = 10\). L'antécédent de 10 vérifie \(3x - 2 = 10\), donc \(x = 4\) (et on retrouve \(f(4) = 10\)).
  2. Pente \(\dfrac{11 - 5}{3 - 0} = 2\) et \(b = 5\), donc \(f(x) = 2x + 5\).
  3. \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\) : aucun zéro réel. La parabole est au-dessus de l'axe des abscisses.

Pour continuer : cours 2 sur l'exponentielle et le logarithme, puis les exercices du module.