Cours – Suites géométriques
BTS SIO SISR 2e année – Pour aller plus loin – S03 – à lire avant les exercices
Ce que tu dois savoir déjà
- Prérequis : S02 (suites arithmétiques) ; les pourcentages d'évolution (coefficient multiplicateur).
- Outils : Papier, calculatrice, éditeur Python intégré au site
À la fin de ce cours tu sauras
- Reconnaître une suite géométrique et déterminer sa raison ;
- Écrire le terme général ;
- Calculer la somme de termes consécutifs ;
- Modéliser une croissance exponentielle (doublement, taux) ;
- Programmer et tester une suite géométrique.
I. Définition
Une suite \((u_n)\) est géométrique s'il existe un nombre \(q\), la raison, tel que pour tout \(n\) :
On multiplie toujours par le même nombre. Si aucun terme n'est nul, on le vérifie avec les rapports \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\).
Exemple : \(3, 6, 12, 24, \dots\) a pour raison \(q = 2\). La suite \(2, 5, 8, \dots\) n'est pas géométrique (rapports 2,5 puis 1,6) ; elle est arithmétique.
II. Terme général
Exemple : \(u_0 = 3\), \(q = 2\) : \(u_{10} = 3 \times 2^{10} = 3\,072\).
Sens de variation (avec \(u_0 > 0\)) :
| Raison | Comportement |
|---|---|
| \(q > 1\) | croissante |
| \(0 < q < 1\) | décroissante |
| \(q = 1\) | constante |
| \(q < 0\) | les signes alternent (ni croissante ni décroissante) |
III. Pourcentages d'évolution
Augmenter de \(t\,\%\) revient à multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\) ; diminuer de \(t\,\%\), par \(1 - \dfrac{t}{100}\). Une évolution de \(t\,\%\) par période donne donc une suite géométrique de raison \(q = 1 \pm \dfrac{t}{100}\).
Exemples : +20 % par mois : \(q = 1{,}2\). −15 % par an : \(q = 0{,}85\).
Warning
Deux augmentations successives de 20 % ne font pas 40 % : elles multiplient par \(1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\), soit +44 %.
IV. Somme de termes consécutifs
Pour \(q \ne 1\) :
Pour \(q = 1\), tous les termes valent \(u_0\) et la somme vaut \((n+1)\,u_0\).
Pourquoi ? En notant \(S\) la somme, \(qS = u_1 + \dots + u_{n+1}\). En retranchant : \(S - qS = u_0 - u_{n+1} = u_0(1 - q^{n+1})\), d'où la formule.
Exemple : \(1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2\,047\).
Tip
Une somme de puissances de 2 vaut « la puissance suivante moins 1 » : pratique pour compter des valeurs en binaire (un nombre de \(k\) bits va de 0 à \(2^k - 1\)).
V. Arithmétique ou géométrique ?
| Question | Arithmétique | Géométrique |
|---|---|---|
| Ce qui est constant | la différence | le rapport |
| Évolution | linéaire | exponentielle |
| Exemple | +25 Mo de plus chaque jour | +20 % chaque mois |
Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire, même si elle démarre plus bas.
VI. En Python
def terme(u0, q, n):
return u0 * q ** n
def somme(u0, q, n): # entiers, q != 1
return u0 * (q ** (n + 1) - 1) // (q - 1)
Avec des taux décimaux, les flottants donnent des valeurs approchées : on arrondit à l'affichage (round(x, 2)) et on ne teste pas une égalité exacte.
Test flash. Un trafic de 500 Go augmente de 20 % par mois. Quel trafic après 3 mois ?
Voir la réponse
\(500 \times 1{,}2^3 = 500 \times 1{,}728 = 864\) Go.
À retenir
- Géométrique : \(u_{n+1} = q\,u_n\) ; \(u_n = u_0 q^n\).
- Évolution de \(t\,\%\) : \(q = 1 \pm t/100\) ; deux évolutions se multiplient, elles ne s'additionnent pas.
- Somme : \(u_0 \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) pour \(q \ne 1\).
- Exponentielle : finit par dépasser toute croissance linéaire.