Sujet 4 – La migration vers un nouveau centre de données (2 heures, 20 points)
BTS SIO SISR 2e année – Préparer l'épreuve E3 – sujet d'entraînement de l'auteur, non officiel
Note
Conditions. Compose ce sujet sans aide et chronométré (2 heures). Les trois exercices sont indépendants. Calculatrice : selon les règles de la session. Chaque réponse est justifiée. Le corrigé et le barème sont dans les blocs « Voir le corrigé ».
Répartition indicative : exercice 1 (graphes) 7 points, exercice 2 (matrices) 5 points, exercice 3 (programmation) 8 points.
Exercice 1 – Le réseau inter-sites (7 points)
Six sites sont reliés par des liaisons à sens unique. Le graphe ci-dessous indique, sur chaque arc, la latence en millisecondes.
1. (2 points)
a) Dresser le tableau des successeurs de chaque site. b) Déterminer les niveaux du graphe (il n'a pas de circuit).
2. (4 points) Rappel de méthode : on fixe le sommet de départ à la distance 0 ; à chaque étape, on retient le sommet non encore fixé de distance provisoire minimale, on le fixe, puis on met à jour la distance de ses successeurs si le passage par lui est plus court. On s'arrête quand tous les sommets sont fixés. Par la méthode de Dijkstra, déterminer la latence minimale de S1 à chacun des autres sites. Présenter le déroulement dans un tableau. Donner un chemin de latence minimale de S1 à S6 et sa valeur.
3. (1 point) Combien y a-t-il de chemins de longueur 2 (deux arcs) de S1 à S4 ? Les citer.
Voir le corrigé de l'exercice 1
1. (2 pts)
a) (1)
| Site | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Successeurs | S2, S3 | S4 | S2, S4, S5 | S6 | S4, S6 | — |
b) (1) Niveau 0 : S1. On retire S1 : niveau 1 : S3. On retire S3 : niveau 2 : S2, S5. On retire S2, S5 : niveau 3 : S4. Niveau 4 : S6. Niveaux : \(\{S1\}\), \(\{S3\}\), \(\{S2, S5\}\), \(\{S4\}\), \(\{S6\}\).
2. (4 pts) On fixe à chaque étape le site non fixé de plus petite valeur provisoire.
| Étape | Site fixé | S2 | S3 | S4 | S5 | S6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | S1 (0) | 7 | 3 | — | — | — |
| 1 | S3 (3) | 5 | 12 | 9 | — | |
| 2 | S2 (5) | 9 | 9 | — | ||
| 3 | S4 (9) | 9 | 12 | |||
| 4 | S5 (9) | 12 | ||||
| 5 | S6 (12) |
Détail : après S3, \(S2 = \min(7,\ 3 + 2) = 5\), \(S4 = 3 + 9 = 12\), \(S5 = 3 + 6 = 9\). Après S2, \(S4 = \min(12,\ 5 + 4) = 9\). Après S4, \(S6 = 9 + 3 = 12\). Après S5 (9), \(S4 = \min(9,\ 9 + 1) = 9\) et \(S6 = \min(12,\ 9 + 8) = 12\) : rien ne change.
Latences minimales depuis S1 : S2 : 5 ; S3 : 3 ; S4 : 9 ; S5 : 9 ; S6 : 12. En remontant les prédécesseurs : S6 ← S4 ← S2 ← S3 ← S1. Chemin S1 → S3 → S2 → S4 → S6, de valeur \(3 + 2 + 4 + 3 = \mathbf{12}\) ms.
Barème : initialisation et choix du sommet (1), mises à jour correctes (1,5), table complète (0,5), chemin et valeur (1).
3. (1 pt) Il y en a 2 : \(S1 \to S2 \to S4\) et \(S1 \to S3 \to S4\) (le coefficient \((S1, S4)\) de \(M^2\) vaut 2).
Exercice 2 – Facturation et système (5 points)
1. (2 points) Un hébergeur facture trois ressources : des heures de calcul, des gigaoctets de stockage et des gigaoctets transférés. Le tableau donne la consommation de deux services ; les tarifs par unité sont 10 €, 20 € et 5 €.
| Calcul (h) | Stockage (Go) | Transfert (Go) | |
|---|---|---|---|
| Web | 2 | 1 | 4 |
| Messagerie | 1 | 3 | 2 |
a) Écrire la matrice \(C\) des consommations et la matrice colonne \(T\) des tarifs. Quelle est la taille de \(CT\) ? b) Calculer \(CT\) et interpréter chaque coefficient.
2. (3 points) Trois licences ont pour prix \(x\), \(y\), \(z\) (en euros). Trois commandes donnent :
On donne \(N = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
a) Écrire le système sous la forme \(AX = B\). b) Vérifier que \(N\) est l'inverse de \(A\). c) Calculer \(X\) et vérifier le résultat.
Voir le corrigé de l'exercice 2
1. (2 pts)
a) (0,75) \(C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}\) (\(2 \times 3\)) et \(T = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \\ 5 \end{pmatrix}\) (\(3 \times 1\)). Le produit \(CT\) est défini (3 colonnes, 3 lignes) et de taille \(2 \times 1\). b) (1,25) \(CT = \begin{pmatrix} 2 \cdot 10 + 1 \cdot 20 + 4 \cdot 5 \\ 1 \cdot 10 + 3 \cdot 20 + 2 \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \\ 80 \end{pmatrix}\). Le service Web est facturé 60 € et la messagerie 80 €.
2. (3 pts)
a) (0,75) \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 8 \\ 15 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(AX = B\). b) (1,25) \(AN\) : ligne 1 de \(A\) par les colonnes de \(N\) : \((1, 2, 0) \cdot (1, 0, 0) = 1\) ; \((1, 2, 0) \cdot (-2, 1, 0) = 0\) ; \((1, 2, 0) \cdot (6, -3, 1) = 0\). Ligne 2 \((0, 1, 3)\) : \(0\) ; \(1\) ; \(-3 + 3 = 0\). Ligne 3 \((0, 0, 1)\) : \(0\) ; \(0\) ; \(1\). On obtient \(I_3\) : \(N = A^{-1}\). c) (1) \(X = NB = \begin{pmatrix} 8 - 30 + 24 \\ 15 - 12 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) : 2 €, 3 € et 4 €. Vérification : \(2 + 6 = 8\) ; \(3 + 12 = 15\) ; \(4 = 4\).
Exercice 3 – Relevés, tableaux à deux dimensions et débogage (8 points)
1. (2 points) On donne la fonction suivante.
a) Dresser le tableau de suivi pour mystere(252, 198) et donner la valeur retournée.
b) Quel est le rôle de cette fonction ?
2. (3 points) Un tableau T à deux dimensions contient les températures relevées (en °C) : chaque ligne est une baie, chaque colonne une heure.
a) Écrire moyennes(T) qui retourne la liste des moyennes de chaque ligne. Que retourne-t-elle pour T ?
b) Écrire baies_en_alerte(T, seuil) qui retourne la liste des numéros de lignes dont le maximum dépasse strictement seuil. Que retourne baies_en_alerte(T, 28) ?
3. (3 points) Un développeur écrit une fonction qui crée une matrice nulle.
a) Que s'affiche-t-il ? Pourquoi est-ce surprenant ? b) Expliquer la cause (indication : combien de listes distinctes existe-t-il ?). c) Corriger la fonction.
Voir le corrigé de l'exercice 3
1. (2 pts)
a) (1,5)
| Tour | a avant |
b avant |
a % b |
a, b après |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 198 | 54 | 198, 54 |
| 2 | 198 | 54 | 36 | 54, 36 |
| 3 | 54 | 36 | 18 | 36, 18 |
| 4 | 36 | 18 | 0 | 18, 0 |
Retour : 18.
b) (0,5) La fonction calcule le PGCD de a et b (algorithme d'Euclide).
2. (3 pts)
a) (1,5)
def moyennes(T):
resultat = []
for ligne in T:
total = 0
for v in ligne:
total = total + v
resultat.append(total / len(ligne))
return resultat
moyennes(T) retourne [22.75, 30.75, 25.5].
b) (1,5)
def baies_en_alerte(T, seuil):
numeros = []
for i in range(len(T)):
if max(T[i]) > seuil:
numeros.append(i)
return numeros
baies_en_alerte(T, 28) retourne [1] : seule la ligne 1 (maximum 33) dépasse 28.
3. (3 pts)
a) (1) Le programme affiche [[0, 5, 0], [0, 5, 0]] : les deux lignes ont été modifiées alors qu'on n'a affecté qu'une seule case.
b) (1) L'expression [[0] * q] * p construit une seule liste [0] * q, puis répète p fois la même référence : les \(p\) « lignes » désignent le même objet. Modifier une ligne modifie donc toutes les autres (effet de bord par partage de référence).
c) (1)
Cette version crée une nouvelle liste à chaque tour. zeros(2, 3) suivie de M[0][1] = 5 donne [[0, 5, 0], [0, 0, 0]].
Barème récapitulatif
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Graphes | 7 |
| 2. Matrices | 5 |
| 3. Programmation | 8 |
| Total | 20 |
Note
Auto-évaluation. Sous 10 points : reprendre R4 (graphes), R2 (matrices) et R5 (programmation). Au-dessus de 15 : refaire un sujet complet en conditions réelles, puis passer aux exercices « pour aller plus loin ».