Synthèse – Calcul matriciel

BTS SIO SISR 2e année – Préparer l'épreuve E3 – R2

Note

Rôle de cette page. L'essentiel du programme (définitions, opérations, inverse, systèmes), les méthodes et les pièges. Le cours complet est dans le site de 1re année (séances S13 et S14).

I. Matrices et opérations

Une matrice \(A\) de taille \(p \times n\) a \(p\) lignes et \(n\) colonnes ; \(a_{ij}\) est le coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\). Une matrice est carrée si \(p = n\), nulle si tous ses coefficients sont nuls ; la matrice identité \(I_n\) a des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

Opération	Condition	Résultat
\(A + B\), \(A - B\)	Mêmes tailles	Coefficient par coefficient
\(\lambda A\)	Aucune	Chaque coefficient multiplié par \(\lambda\)
\(A \times B\)	Colonnes de \(A\) = lignes de \(B\) : \((p \times n)(n \times q)\)	Matrice \(p \times q\) ; \(c_{ij} = \sum_k a_{ik}\,b_{kj}\)

Ligne par colonne. Pour \(c_{ij}\) : on multiplie la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\), terme à terme, puis on additionne.

Warning

Pièges. Le produit n'est pas commutatif : \(AB \ne BA\) en général (et l'un peut exister sans l'autre). \(AI = IA = A\). Il n'y a pas de division de matrices. \(AB = 0\) n'implique pas \(A = 0\) ou \(B = 0\).

II. Inverse d'une matrice carrée

\(B\) est l'inverse de \(A\) (carrée) si \(AB = BA = I\) ; on la note \(A^{-1}\). Si elle existe, elle est unique, et \(A\) commute avec \(A^{-1}\). Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles. Pour vérifier qu'une matrice est l'inverse d'une autre, on calcule le produit et on trouve \(I\).

Méthode itérative (opérations sur les lignes). On écrit \([A \mid I]\) puis on transforme, par opérations sur les lignes, \(A\) en \(I\) ; la partie droite devient \(A^{-1}\). Si l'on obtient une ligne de zéros à gauche, \(A\) n'est pas inversible.

Opérations autorisées : échanger deux lignes ; multiplier une ligne par un nombre non nul ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre.

III. Systèmes d'équations

Un système de \(n\) équations à \(n\) inconnues s'écrit \(AX = B\). Si \(A\) est inversible, la solution est unique (système de Cramer) :

\[ X = A^{-1}B . \]

Rédaction type. (1) Poser les inconnues avec leur unité ; (2) écrire \(AX = B\) ; (3) vérifier que l'inverse donné convient (\(AA^{-1} = I\)) ; (4) calculer \(A^{-1}B\) ; (5) vérifier dans les équations de départ ; (6) conclure par une phrase.

IV. Calculatrice

Le produit de matrices et l'inverse peuvent être obtenus à la calculatrice lors de l'épreuve, sans justification du calcul. En revanche, il faut savoir écrire le système sous forme matricielle et interpréter le résultat. Le déterminant n'est pas au programme : l'inversibilité se constate par la méthode des lignes ou par le calcul de \(AA^{-1}\).

À retenir pour le jour de l'épreuve

1. Contrôler les tailles avant tout produit.
2. Écrire l'ordre des facteurs (\(A^{-1}B\), pas \(BA^{-1}\)).
3. Toujours vérifier la solution d'un système dans les équations d'origine.