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Exercices – Calcul des probabilités

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M4

Note

Trois niveaux : socle, format épreuve, pour aller plus loin. Les valeurs sont données à \(10^{-4}\) près ; utilise la calculatrice ou Python.

Niveau 1 – Socle

Exercice 1 – Une variable aléatoire discrète

Un incident coûte \(0\) € avec la probabilité \(0{,}7\), \(1\,000\) € avec \(0{,}2\) et \(5\,000\) € avec \(0{,}1\). Calculer l'espérance, la variance et l'écart type du coût.

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\(E = 0 \times 0{,}7 + 1000 \times 0{,}2 + 5000 \times 0{,}1 = 700\) €.

\(\sum p_i x_i^2 = 0{,}2 \times 10^{6} + 0{,}1 \times 25 \times 10^{6} = 2{,}7 \times 10^{6}\), donc \(V = 2\,700\,000 - 700^2 = 2\,210\,000\) et \(\sigma \approx 1\,487\) €.

Le coût moyen est de 700 € par incident, mais la dispersion est grande : le risque est loin d'être négligeable.

Exercice 2 – Loi binomiale

Sur un lot de 20 disques, chacun est défectueux avec la probabilité \(0{,}03\), indépendamment. \(X\) est le nombre de disques défectueux.

  1. Quelle est la loi de \(X\) ? Donner \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).
  2. Calculer \(P(X = 0)\) et \(P(X \ge 2)\).
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  1. \(X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}03)\), \(E = 20 \times 0{,}03 = 0{,}6\), \(V = 20 \times 0{,}03 \times 0{,}97 = 0{,}582\), \(\sigma \approx 0{,}763\).
  2. \(P(X = 0) = 0{,}97^{20} \approx 0{,}5438\). \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 0{,}1198\), soit environ 12 % de chances d'avoir au moins deux disques défectueux dans le lot.

Niveau 2 – Format épreuve

Exercice 3 – Loi de Poisson

Un service reçoit en moyenne 2 incidents par jour, modélisés par une loi de Poisson \(\mathcal{P}(2)\).

  1. Calculer la probabilité de n'avoir aucun incident, puis exactement 3 incidents.
  2. Calculer la probabilité d'avoir au moins 5 incidents.
  3. L'équipe tient une permanence renforcée à partir de 5 incidents. À quelle fréquence est-elle déclenchée ?
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  1. \(P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}1353\) ; \(P(X = 3) = e^{-2}\dfrac{2^3}{3!} \approx 0{,}1804\).
  2. \(P(X \ge 5) = 1 - P(X \le 4) \approx 0{,}0527\).
  3. Environ \(5{,}3\) % des jours, soit à peu près un jour sur 19, donc environ 19 fois par an : la permanence est rare mais pas exceptionnelle, il faut la prévoir.

Exercice 4 – Loi normale

Le temps de réponse d'une application suit une loi normale de moyenne \(100\) ms et d'écart type \(8\) ms.

  1. Calculer \(P(X \le 105)\) et \(P(90 \le X \le 110)\).
  2. Quel temps \(t\) est dépassé dans seulement \(5\) % des cas ?
  3. Le contrat impose 95 % des réponses sous 115 ms. Est-il respecté ?
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  1. \(P(X \le 105) \approx 0{,}7340\). Pour \(P(90 \le X \le 110)\), \(z = \pm 1{,}25\), donc \(P \approx 0{,}7887\).
  2. On cherche \(t\) tel que \(P(X \le t) = 0{,}95\) : \(t = 100 + 1{,}645 \times 8 \approx 113{,}2\) ms.
  3. Comme \(113{,}2 < 115\), au moins 95 % des réponses sont sous 115 ms : le contrat est respecté, avec une marge d'environ 2 ms.

Niveau 3 – Pour aller plus loin

Exercice 5 – De la binomiale à Poisson

Sur 200 transmissions, chacune échoue avec la probabilité \(0{,}01\). \(X\) est le nombre d'échecs.

  1. Donner la loi exacte de \(X\), puis la loi de Poisson qui l'approche.
  2. Comparer \(P(X = 0)\) et \(P(X = 3)\) pour les deux lois.
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  1. \(X \sim \mathcal{B}(200\,;\,0{,}01)\), d'espérance \(200 \times 0{,}01 = 2\) : on approche par \(\mathcal{P}(2)\).
  2. Binomiale : \(P(X = 0) = 0{,}99^{200} \approx 0{,}1340\), \(P(X = 3) \approx 0{,}1814\). Poisson : \(0{,}1353\) et \(0{,}1804\). Les valeurs sont très proches (écart inférieur à \(10^{-2}\)), ce qui justifie l'approximation quand \(n\) est grand et \(p\) petit.

Exercice 6 – Une sonde de détection d'intrusion

Sur un parc, 2 % des postes sont compromis. Une sonde signale 90 % des postes compromis, mais signale aussi à tort 5 % des postes sains.

  1. Construire l'arbre pondéré (sous forme de tableau des chemins) et calculer la probabilité qu'un poste soit signalé.
  2. Un poste est signalé. Quelle est la probabilité qu'il soit réellement compromis ? Commenter.
  3. Les événements « compromis » et « signalé » sont-ils indépendants ?
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  1. On note \(C\) « compromis » et \(S\) « signalé ». \(P(C \cap S) = 0{,}02 \times 0{,}9 = 0{,}018\) ; \(P(\overline{C} \cap S) = 0{,}98 \times 0{,}05 = 0{,}049\). Probabilités totales : \(P(S) = 0{,}018 + 0{,}049 = 0{,}067\).
  2. \(P_S(C) = \dfrac{0{,}018}{0{,}067} \approx 0{,}269\). Seulement 27 % des alertes concernent un vrai poste compromis : comme les postes compromis sont rares, les fausses alertes dominent. Une alerte doit donc être vérifiée avant d'isoler le poste.
  3. \(P(C) \times P(S) = 0{,}02 \times 0{,}067 = 0{,}00134 \ne 0{,}018\) : non indépendants (heureusement, sinon la sonde ne servirait à rien).

Exercice 7 – Approximation normale

Sur 1 000 connexions, chacune échoue avec la probabilité 0,03, indépendamment. \(X\) est le nombre d'échecs.

  1. Donner la loi de \(X\), son espérance et son écart type.
  2. Justifier qu'on peut approcher \(X\) par une loi normale, et estimer \(P(X \ge 40)\) avec la correction de continuité.
  3. Comparer à la valeur exacte donnée par la calculatrice, \(0{,}0437\).
Voir la réponse
  1. \(X \sim \mathcal{B}(1000\,;\,0{,}03)\) ; \(E(X) = 30\) ; \(\sigma = \sqrt{1000 \times 0{,}03 \times 0{,}97} = \sqrt{29{,}1} \approx 5{,}394\).
  2. \(n = 1000 \ge 30\), \(np = 30 \ge 5\), \(n(1-p) = 970 \ge 5\). Avec \(Y \sim \mathcal{N}(30\,;\,5{,}394)\) : \(P(X \ge 40) \approx P(Y \ge 39{,}5) \approx 0{,}039\).
  3. L'écart est d'environ 0,005 : l'approximation donne le bon ordre de grandeur (environ 4 %), mais elle est moins précise ici car \(p\) est petit et la loi binomiale n'est pas symétrique.