Aide-mémoire – Limites, point fixe et seuils

BTS SIO SISR 2e année – Pour aller plus loin – S05

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Limites usuelles

Suite	Cas	Limite
\(u_0 + nr\)	\(r > 0\) / \(r < 0\)	\(+\infty\) / \(-\infty\)
\(u_0 q^n\), \(u_0 > 0\)	\(q > 1\)	\(+\infty\)
	\(\lvert q \rvert < 1\)	\(0\)
	\(q = 1\)	\(u_0\)
	\(q \le -1\)	aucune

Suite affine uₙ₊₁ = a·uₙ + b (avec a ≠ 1)

Objet	Formule
Point fixe	\(L = \dfrac{b}{1-a}\)
Suite auxiliaire	\(v_n = u_n - L\), géométrique de raison \(a\)
Terme général	\(u_n = L + (u_0 - L)a^n\)
Convergence	\(\lvert a \rvert < 1\) : \(u_n \to L\)

Seuil

1. La suite atteint-elle le seuil ? (limite \(+\infty\) ou au-delà du seuil)
2. Boucle while u < seuil avec compteur.
3. Sinon : garde-fou nmax et résultat None.

Variant avec garde-fou : nmax - n.