Sujet 1 – L'atelier de maintenance (2 heures, 20 points)
BTS SIO SISR 2e année – Préparer l'épreuve E3 – sujet d'entraînement de l'auteur, non officiel
Note
Conditions. Compose ce sujet sans aide et chronométré (2 heures). Les trois exercices sont indépendants. Calculatrice : selon les règles de la session. Chaque réponse est justifiée (étapes de calcul, tableaux, raisonnement). Le corrigé et le barème sont dans les blocs « Voir le corrigé ».
Répartition indicative : exercice 1 (arithmétique) 6 points, exercice 2 (matrices et logique) 6 points, exercice 3 (programmation) 8 points.
Exercice 1 – Numération, PGCD et congruences (6 points)
1. (1,5 point) Numération.
a) Écrire 725 en binaire puis en hexadécimal.
b) Convertir le nombre hexadécimal 1F3 en décimal.
c) Calculer en binaire, sur 8 bits, 10110101 + 01001011. Que constate-t-on ? Justifier avec les valeurs décimales.
2. (1 point) Nombres à virgule.
a) Écrire \(0{,}6875\) en binaire. b) Le nombre \(0{,}7\) possède-t-il une écriture binaire finie ? Justifier.
3. (1,5 point) Deux modèles de pièces sont livrés par lots de 924 et de 1 078 unités. On veut les répartir en caisses identiques, de la plus grande taille possible, sans reste.
a) Calculer le PGCD de 924 et de 1 078 par l'algorithme d'Euclide. b) Vérifier avec les décompositions en facteurs premiers. c) Combien de caisses de chaque modèle obtient-on ?
4. (2 points) Quinze techniciens, numérotés de 0 à 14, sont appelés en rotation : le technicien suivant le numéro \(i\) est \((i + k) \bmod 15\).
a) Pour \(k = 6\) puis \(k = 4\), combien de techniciens sont appelés avant de revenir au numéro 0 ? Justifier avec le PGCD. b) Calculer \(2^{100} \bmod 7\) (on pourra chercher un cycle).
Voir le corrigé de l'exercice 1
1. (1,5 pt)
a) (0,5) \(725 = 512 + 128 + 64 + 16 + 4 + 1\), soit \(725 = 1011010101_2\). Par groupes de 4 bits : \(0010\,1101\,0101\), soit \(725 = \texttt{2D5}_{16}\). b) (0,5) \(\texttt{1F3} = 1 \times 256 + 15 \times 16 + 3 = 499\). c) (0,5) \(10110101_2 = 181\) et \(01001011_2 = 75\). La somme est \(256 = 1\,0000\,0000_2\) : 9 bits. Sur 8 bits il reste \(00000000\) avec une retenue sortante : dépassement de capacité (la valeur maximale sur 8 bits est 255).
2. (1 pt)
a) (0,5) \(0{,}6875 = 11/16 = 0{,}1011_2\) (\(0{,}6875 \times 2 = 1{,}375\) donne 1 ; \(0{,}375 \times 2 = 0{,}75\) donne 0 ; \(0{,}75 \times 2 = 1{,}5\) donne 1 ; \(0{,}5 \times 2 = 1\) donne 1). b) (0,5) \(0{,}7 = 7/10\) : le dénominateur \(10 = 2 \times 5\) n'est pas une puissance de 2, donc l'écriture binaire est périodique (infinie).
3. (1,5 pt)
a) (0,5) \(1078 = 1 \times 924 + 154\) ; \(924 = 6 \times 154 + 0\). Le PGCD est 154. b) (0,5) \(924 = 2^2 \times 3 \times 7 \times 11\) et \(1078 = 2 \times 7^2 \times 11\). Facteurs communs : \(2 \times 7 \times 11 = 154\). c) (0,5) \(924 / 154 = 6\) caisses et \(1078 / 154 = 7\) caisses, de 154 pièces chacune.
4. (2 pts)
a) (1) \(k = 6\) : \(\operatorname{PGCD}(6, 15) = 3\), donc \(15 / 3 = 5\) techniciens sont appelés (0, 6, 12, 3, 9). \(k = 4\) : \(\operatorname{PGCD}(4, 15) = 1\), donc les 15 sont appelés. b) (1) Modulo 7 : \(2^1 \equiv 2\), \(2^2 \equiv 4\), \(2^3 \equiv 1\) : cycle de longueur 3. \(100 = 3 \times 33 + 1\), donc \(2^{100} \equiv 2^1 \equiv \mathbf{2}\).
Exercice 2 – Système de prix et règle de sauvegarde (6 points)
1. (3 points) L'atelier achète des commutateurs (prix unitaire \(x\) euros) et des routeurs (prix unitaire \(y\) euros). Une première commande de 3 commutateurs et 2 routeurs coûte 260 euros ; une seconde, de 4 commutateurs et 3 routeurs, coûte 370 euros.
a) Écrire le système sous la forme \(AX = B\). b) Vérifier que \(N = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}\) est l'inverse de \(A\). c) En déduire \(x\) et \(y\), puis vérifier.
2. (3 points) Une sauvegarde nocturne est lancée selon trois indicateurs : \(a\) = « serveur A prêt », \(b\) = « lien réseau actif », \(c\) = « serveur C prêt ». La fonction de lancement est
a) Dresser la table de vérité de \(F\). b) Simplifier \(F\) à l'aide d'un tableau de Karnaugh. c) Traduire la règle simplifiée par une phrase.
Voir le corrigé de l'exercice 2
1. (3 pts)
a) (1) \(\begin{cases} 3x + 2y = 260 \\ 4x + 3y = 370 \end{cases}\), soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\), \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 260 \\ 370 \end{pmatrix}\). b) (1) \(AN = \begin{pmatrix} 9 - 8 & -6 + 6 \\ 12 - 12 & -8 + 9 \end{pmatrix} = I_2\) (et \(NA = I_2\)) : \(N = A^{-1}\). c) (1) \(X = NB = \begin{pmatrix} 3 \cdot 260 - 2 \cdot 370 \\ -4 \cdot 260 + 3 \cdot 370 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \\ 70 \end{pmatrix}\). Un commutateur coûte 40 € et un routeur 70 €. Vérification : \(3 \cdot 40 + 2 \cdot 70 = 260\) ; \(4 \cdot 40 + 3 \cdot 70 = 370\).
2. (3 pts)
a) (1)
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(F\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
b) (1,5)
| \(a \backslash bc\) | 00 | 01 | 11 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Rectangle vertical de la colonne 11 : \(bc\). Rectangle horizontal \((1, 11)\) et \((1, 10)\) : \(ab\). \(F = bc + ab = b\,(a + c)\). c) (0,5) La sauvegarde est lancée si le lien réseau est actif et si l'un au moins des deux serveurs est prêt.
Exercice 3 – Journal des sauvegardes et programmation (8 points)
1. (2 points) On donne la fonction suivante.
a) Dresser le tableau de suivi pour t = [5, 8, 8, 3, 9, 12, 2] et donner la valeur retournée.
b) Quel est le rôle de cette fonction ? Que retourne mystere([4]) ?
2. (3 points) Le journal est une liste de chaînes "date;statut;durée", la durée en minutes. Par exemple :
journal = ["2026-10-01;OK;42", "2026-10-02;ECHEC;0", "2026-10-03;OK;38",
"2026-10-04;OK;55", "2026-10-05;ECHEC;0"]
a) Écrire taux_reussite(journal) qui retourne le pourcentage de lignes de statut OK (0 si le journal est vide). Que retourne-t-elle pour l'exemple ?
b) Écrire duree_moyenne_ok(journal) qui retourne la durée moyenne des sauvegardes réussies, ou None s'il n'y en a aucune. Que retourne-t-elle pour l'exemple ?
Rappel : "a;b;c".split(";") retourne ["a", "b", "c"] ; int("42") retourne 42.
3. (3 points) Un octet de statut code trois sauvegardes : le bit 0 pour le disque, le bit 1 pour la base de données, le bit 2 pour la messagerie ; la valeur 1 signifie « réussie ».
a) Écrire echecs(octet) qui retourne la liste des noms des sauvegardes en échec (dans l'ordre disque, base, messagerie).
b) Donner les résultats pour 0b101, 0b111 et 0b010.
c) Écrire tout_ok(octet) qui retourne True si les trois bits sont à 1, en une seule comparaison avec un masque.
Voir le corrigé de l'exercice 3
1. (2 pts)
a) (1,5)
| \(i\) | t[i] |
t[i-1] |
t[i] > t[i-1] |
r après |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 5 | oui | [1] |
| 2 | 8 | 8 | non | [1] |
| 3 | 3 | 8 | non | [1] |
| 4 | 9 | 3 | oui | [1, 4] |
| 5 | 12 | 9 | oui | [1, 4, 5] |
| 6 | 2 | 12 | non | [1, 4, 5] |
La fonction retourne [1, 4, 5].
b) (0,5) Elle retourne les indices où la valeur est strictement supérieure à la précédente (les « hausses »). Pour [4], la boucle ne fait aucun tour : elle retourne la liste vide [].
2. (3 pts)
a) (1,5)
def taux_reussite(journal):
if len(journal) == 0:
return 0
ok = 0
for ligne in journal:
champs = ligne.split(";")
if champs[1] == "OK":
ok = ok + 1
return 100 * ok / len(journal)
Pour l'exemple : 3 lignes OK sur 5, donc 60,0.
b) (1,5)
def duree_moyenne_ok(journal):
total = 0
n = 0
for ligne in journal:
champs = ligne.split(";")
if champs[1] == "OK":
total = total + int(champs[2])
n = n + 1
if n == 0:
return None
return total / n
Pour l'exemple : \((42 + 38 + 55) / 3 = \mathbf{45{,}0}\) minutes. Barème : initialisations (0,5), boucle et découpage (0,5), test et cumul (0,25), cas particulier (0,25).
3. (3 pts)
a) (1,5)
def echecs(octet):
noms = ["disque", "base", "messagerie"]
liste = []
for k in range(3):
if (octet >> k) & 1 == 0:
liste.append(noms[k])
return liste
b) (0,5) echecs(0b101) retourne ['base'] ; echecs(0b111) retourne [] ; echecs(0b010) retourne ['disque', 'messagerie'].
c) (1) def tout_ok(octet): return octet & 0b111 == 0b111. Le masque 0b111 isole les trois bits utiles ; on compare à 0b111. En Python, on écrit de préférence (octet & 0b111) == 0b111 pour éviter toute ambiguïté de priorité.
Barème récapitulatif
| Exercice | Points |
|---|---|
| 1. Numération, PGCD, congruences | 6 |
| 2. Système et Karnaugh | 6 |
| 3. Programmation | 8 |
| Total | 20 |
Note
Auto-évaluation. Sous 10 points : reprendre les séries de révision R1 (arithmétique) et R5 (programmation). Entre 10 et 15 : relire les corrigés et refaire les questions manquées. Au-dessus de 15 : passer au sujet suivant.