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Cours 1 – Variable aléatoire et loi binomiale

BTS SIO SISR 2e année – Option mathématiques approfondies – M4, première partie

Note

Objectifs de ce cours. À la fin, tu sais : définir une variable aléatoire discrète et sa loi ; calculer espérance, variance, écart type ; reconnaître une situation de loi binomiale ; calculer \(P(X = k)\), \(P(X \le k)\), \(P(X \ge k)\) à la calculatrice ; interpréter une probabilité en langage courant.

Prérequis. Probabilités de première année (événement, probabilité d'un événement contraire), le module M1 pour les puissances.

Programme. Le théorème central limite et les distributions d'échantillonnage ne sont pas au programme de l'option.

1. Pour démarrer : un risque chiffré

Un incident sur un système d'information coûte \(0\) € (incident sans conséquence) avec la probabilité \(0{,}7\), \(1\,000\) € avec la probabilité \(0{,}2\), et \(5\,000\) € avec la probabilité \(0{,}1\). Quel est le coût moyen par incident ? Quelle est l'incertitude autour de ce coût ?

Pour répondre, on traduit la situation avec une variable aléatoire.

2. Variable aléatoire discrète et sa loi

Définition. Une variable aléatoire \(X\) associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire (le coût d'un incident, le nombre de pannes, le nombre de paquets perdus). Elle est discrète quand ses valeurs possibles sont isolées (0, 1, 2, ...).

Loi de probabilité. C'est le tableau des valeurs \(x_i\) et de leurs probabilités \(p_i = P(X = x_i)\). Leur somme vaut toujours 1.

Coût \(x_i\) (€) 0 1 000 5 000
\(p_i\) 0,7 0,2 0,1

Contrôle : \(0{,}7 + 0{,}2 + 0{,}1 = 1\) ✔.

L'espérance \(E(X)\) est la valeur moyenne à long terme si on répète l'expérience très souvent :

\[ E(X) = \sum p_i\,x_i = 0 \times 0{,}7 + 1000 \times 0{,}2 + 5000 \times 0{,}1 = 700. \]

La variance et l'écart type mesurent la dispersion autour de l'espérance :

\[ V(X) = \sum p_i\,x_i^{2} - E(X)^{2}, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}. \]

Ici \(\sum p_i x_i^2 = 0{,}2 \times 10^{6} + 0{,}1 \times 25 \times 10^{6} = 2\,700\,000\), donc \(V = 2\,700\,000 - 700^2 = 2\,210\,000\) et \(\sigma \approx 1\,487\) €.

Interprétation. Un incident coûte en moyenne 700 €, mais l'écart type (1 487 €) est plus de deux fois la moyenne : le coût réel d'un incident est très variable, et un seul gros incident (5 000 €) pèse lourd. Savoir le dire en une phrase est attendu à l'épreuve.

3. Compter des succès : l'épreuve de Bernoulli et la loi binomiale

Une expérience à deux issues

Une épreuve de Bernoulli n'a que deux issues : le succès (probabilité \(p\)) et l'échec (probabilité \(1 - p\)). Exemple : un disque est défectueux (succès, au sens « l'événement qu'on étudie ») avec la probabilité \(p = 0{,}03\).

On répète

Un lot de 20 disques : on répète 20 fois l'épreuve, dans des conditions identiques et indépendantes. La variable \(X\) qui compte le nombre de succès (disques défectueux) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 20\) et \(p = 0{,}03\), notée \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}03)\).

Warning

Les trois conditions à vérifier avant d'écrire « loi binomiale ».

  1. Il y a un nombre fixé \(n\) d'épreuves ;
  2. chaque épreuve a deux issues (succès ou échec) ;
  3. la probabilité de succès \(p\) est la même à chaque épreuve et les épreuves sont indépendantes.

Si les disques sortaient tous du même mauvais lot de fabrication, les pannes ne seraient plus indépendantes : le modèle ne conviendrait plus.

La formule

\[ P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1 - p)^{n - k}. \]

Le coefficient \(\binom{n}{k}\) (« \(k\) parmi \(n\) ») est le nombre de façons de placer \(k\) succès parmi \(n\) épreuves. La calculatrice le donne (touche nCr).

Pourquoi cette formule ? Chaque configuration avec \(k\) succès et \(n-k\) échecs a la probabilité \(p^{k}(1-p)^{n-k}\) (par indépendance), et il y a \(\binom{n}{k}\) configurations différentes.

Espérance et écart type.

\[ E(X) = np, \qquad V(X) = np(1 - p). \]

Exemple résolu. Pour \(X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}03)\), calculer \(P(X = 0)\), \(P(X = 1)\), \(P(X \ge 2)\), \(E(X)\) et \(\sigma(X)\).

Voir la solution détaillée

\(P(X = 0)\) : aucun disque défectueux. \(\binom{20}{0} = 1\), donc \(P(X = 0) = 0{,}97^{20} \approx 0{,}5438\).

\(P(X = 1)\) : \(\binom{20}{1} = 20\), donc \(P(X = 1) = 20 \times 0{,}03 \times 0{,}97^{19} \approx 0{,}3364\).

\(P(X \ge 2)\) : on passe par l'événement contraire, bien plus rapide que de sommer toutes les valeurs de 2 à 20 :

\[ P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - (0{,}5438 + 0{,}3364) \approx 0{,}1198. \]

Espérance et écart type. \(E(X) = 20 \times 0{,}03 = 0{,}6\) ; \(V(X) = 20 \times 0{,}03 \times 0{,}97 = 0{,}582\) ; \(\sigma \approx 0{,}763\).

Interprétation. Dans un lot de 20 disques, on trouve en moyenne 0,6 disque défectueux. Il y a environ 54 % de chances qu'aucun ne soit défectueux, et environ 12 % de chances d'en avoir au moins deux.

0,0 0,2 0,4 0,6 0 1 2 3 4 5 k (disques défectueux) probabilité 0,5438 0,3364 0,0988 0,0183 0,0024 0,0002
Loi binomiale B(20 ; 0,03) pour k de 0 à 5 : presque toute la probabilité est sur les petites valeurs de k.

La figure montre que presque toute la probabilité est concentrée sur les petites valeurs de \(k\).

Tip

Le réflexe « au moins ». Pour \(P(X \ge k)\), calcule \(1 - P(X \le k - 1)\). Attention à l'erreur d'un cran : « au moins 2 » est le contraire de « au plus 1 ».

4. Calculer avec la calculatrice ou Python

La calculatrice propose deux fonctions : la valeur ponctuelle \(P(X = k)\) et la répartition \(P(X \le k)\) (voir l'aide-mémoire).

from math import comb

def binom_pmf(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

print(binom_pmf(20, 0.03, 0))                          # 0.5437...
print(1 - binom_pmf(20, 0.03, 0) - binom_pmf(20, 0.03, 1))   # 0.1198...

5. À retenir

Note

  • Une variable aléatoire \(X\) a une loi : valeurs \(x_i\) et probabilités \(p_i\) de somme 1.
  • \(E(X) = \sum p_i x_i\) ; \(V(X) = \sum p_i x_i^2 - E(X)^2\) ; \(\sigma = \sqrt{V}\).
  • \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) : nombre de succès sur \(n\) épreuves indépendantes de même probabilité \(p\).
  • \(P(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\) ; \(E = np\) ; \(V = np(1-p)\).
  • \(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)\).
  • Toujours interpréter en une phrase (« au moins une chance sur dix »).

6. Teste-toi

Question 1. On lance 5 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 « face » ? Au moins un « face » ?

Question 2. Une variable aléatoire prend les valeurs \(-1\), \(0\) et \(2\) avec les probabilités \(0{,}3\), \(0{,}5\), \(0{,}2\). Calculer \(E(X)\).

Voir les réponses
  1. \(X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)\). \(P(X = 2) = \binom{5}{2}0{,}5^{2}0{,}5^{3} = 10 \times \dfrac{1}{32} = 0{,}3125\). \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}5^{5} = 0{,}96875\).
  2. \(E(X) = -1 \times 0{,}3 + 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}2 = -0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}1\).

Pour continuer : le cours 2 sur les lois de Poisson et normale.